Polea pesada con dos masas (GIC)

Enunciado

Una máquina de Atwood consiste en una polea de masa $M$ y radio $R$ de la que cuelgan dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$, una a cada lado. El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

1. Suponiendo que las dos masas parten del reposo, determina sus aceleraciones, la velocidad angular con que rota la polea y la tensión de la cuerda a cada lado de la polea.
2. Resuelve el mismo problema suponiendo que hay un momento de rozamiento sobre la polea constante e igual a $M_{r}$.
3. Obtén los valores numéricos de las soluciones para los datos $m_{1}=1.50\,\mathrm {kg}$, $m_{2}=2.00\,\mathrm {kg}$, $M=1.00\,\mathrm {kg}$, $R=30.0\,\mathrm {cm}$ $M_{r}=2.00\,\mathrm {N\cdot m}$.

Aceleración

Usando la misma notación que en el tema de dinámica de la partícula consideramos que cada masa se mueve verticalmente, por lo que podemos usar cantidades escalares.

En este caso, la ecuación de movimiento para cada una de las masas queda

$m_{1}a=-m_{1}g+T_{1}\qquad \qquad -m_{2}a=-m_{2}g+T_{2}$

Sigue siendo cierto que la aceleración con la que sube la masa 1 coincide con la que baja la masa 2, pero ya no es cierto que la tensión de la cuerda sea la misma en el lado de la masa 1 que en el de la masa 2. La razón es que es la diferencia entre esas dos tensiones la que hace girar la polea. Si las dos tensiones fueran iguales su par se cancelaría y no habría rotación alguna.

La ecuación de movimiento para la rotación de la polea es, por tratarse de una rotación en torno a un eje de simetría que pasa por el CM del sólido

${\vec {M}}_{O}=I{\vec {\alpha }}$

donde el momento de las fuerzas vale

${\vec {M}}_{O}={\vec {0}}\times {\vec {F}}_{\mathrm {ext} }+{\vec {0}}\times M{\vec {g}}+{\vec {r}}_{1}\times (-{\vec {T}}_{1})+{\vec {r}}_{2}\times (-{\vec {T}}_{2})=(-R{\vec {\imath }})\times (-T_{1}{\vec {k}})+(R{\vec {\imath }})\times (-T_{2}{\vec {k}})=(RT_{2}-RT_{1}){\vec {\jmath }}$

el momento de inercia es

$I={\frac {1}{2}}MR^{2}$

y la aceleración angular, teniendo en cuenta que la polea gira en contacto con la cuerda

$\alpha ={\frac {a}{R}}\qquad \qquad {\vec {\alpha }}={\frac {a}{R}}{\vec {\jmath }}$

Sustituyendo esto nos queda la ecuación escalar

$RT_{2}-RT_{1}={\frac {1}{2}}MR^{2}{\frac {a}{R}}\qquad \Rightarrow \qquad T_{2}-T_{1}={\frac {Ma}{2}}$

Despejando las tensiones de las ecuaciones de movimiento para las masas y sustituyendo aquí

$m_{2}(g-a)-m_{1}(g+a)={\frac {M}{2}}a\qquad \Rightarrow \qquad a={\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}+M/2}}g$

Vemos que como en el caso de polea ideal el signo de la aceleración depende de la diferencia entre masas, pero que la presencia de la polea reduce su valor. Vemos también que el valor del radio de la polea es indiferente (aunque el hecho de que se trata de un cilindro permanece en el factor 1/2).

Tensiones

Una vez que conocemos la aceleración es inmediato hallar la tensión de la cuerda a cada lado.

$T_{1}=m_{1}(g+a)={\frac {2m_{1}m_{2}+m_{1}M/2}{m_{1}+m_{2}+M/2}}g\qquad \qquad T_{2}=m_{2}(g-a)={\frac {2m_{1}m_{2}+m_{2}M/2}{m_{1}+m_{2}+M/2}}g$

Fuerza en el soporte

La polea se ve sometida también a una fuerza externa en su soporte, ya que su centro de masas no se está acelerando, lo que nos dice que la fuerza neta sobre la polea es nula

${\vec {0}}={\vec {F}}_{\mathrm {ext} }+M{\vec {g}}+(-{\vec {T}}_{1})+(-{\vec {T}}_{2})\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {F}}_{\mathrm {ext} }=-M{\vec {g}}+{\vec {T}}_{1}+{\vec {T}}_{2}=\left({\frac {4m_{1}m_{2}+(m_{1}+m_{2})M/2}{m_{1}+m_{2}+M/2}}+M\right)g{\vec {k}}$

Caso con rozamiento

Ahora el problema se haría igual, pero en la ecuación de la polea hay que añadir un par de rozamiento con signo contrario al movimiento. Es decir la ecuación para la aceleración angular quedaría

$RT_{2}-RT_{1}-sig(\alpha )M_{r}={\frac {1}{2}}MR^{2}\alpha$

La función $sig(\alpha )$ vale 1 si $\alpha$ es positiva y -1 si es negativa. De este modo nos aseguramos que el par de rozamiento se opone siempre a la rotación de la polea. A partir de la relación entre $\alpha$ y $a$ calculamos todo igual que antes.