Problemas de mecánica analítica (CMR)

Dos barras en V con apoyos

el Principio de los Trabajos Virtuales, determina las reacciones horizontal y vertical en el punto $C$ para la estructura de la figura. La masa de las barras es despreciable. Calcula el valor numeŕico para los valores $a=1.00\,\mathrm {m}$, $|{\vec {F}}|=400\,\mathrm {N}$, $|{\vec {\tau }}|=500\,\mathrm {N\cdot m}$, $\theta =40^{\circ }$.

Engranaje sobre cremallera

La figura muestra un sistema mecánico formado por un engranaje que rueda sobre una cremallera y está conectado a un deslizador con una ranura que desliza respecto al pasador en $B$. El deslizador está acoplado a un muelle, de constante elástica $k$, que se encuentra relajado cuando $x=2R$. En ese instante se tiene $\theta =0$. Las masas del engranaje, el deslizador y la cremallera son la misma e igual a $m$. El radio de giro del engranaje es $r_{c}$. El contacto entre el pasador y la ranura es liso. El mecanismo es accionado por una fuerza aplicada sobe la cremallera como se indica en la figura.

1. Encuentra el número de grados de libertad y elige un conjunto de coordenadas generalizadas para describir el movimiento.
2. Encuentra las ecuaciones diferenciales del movimiento.

Dos partículas unidas por una barra sin masa con una cuchilla

Dos partículas puntuales de masa $m$ están unidas por una barra de longitud $L$ y masa despreciable. Las partículas deslizan sobre un plano fijo $OX_{1}Y_{1}$, pero una de las partículas tiene una cuchilla, de modo que su velocidad sólo puede tener componente paralela a la cuchilla. Una fuerza ${\vec {F}}=F_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$ constante actúa sobre la partícula que no tiene la cuchilla.

1. Encuentra la expresión del vínculo no holónomo del sistema.
2. Escribe las ecuaciones de Lagrange utilizando la técnica de los multiplicadores de Lagrange.
3. Identifica el significado físico del multiplicador de Lagrange.

Deslizadera y disco rodando sin deslizar

Un disco homogéneo (sólido "2") de masa $m$ y radio $R$ puede rotar alrededor de su centro $C$, que se mantiene fijo. Una deslizadera vertical (sólido "0"), de masa $m$ puede moverse a lo largo del eje $O_{1}Y_{1}$, de modo que en el punto de contacto $A$ el disco rueda sin deslizar sobre el sólido "0". La deslizadera está conectada a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural $l_{0}$. El otro extremo del muelle está anclado en un punto fijo del eje $O_{1}X_{1}$, de modo que se mantiene siempre vertical. El sistema está sometido a la acción de la gravedad como se indica en la figura.

1. ¿Cuantos grados de libertad tiene el sistema? Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas temporales. El resultado debe quedar en función del número de grados de libertad y sus derivadas temporales.
2. Calcula las energías cinética y potencial del sistema en función de sus grados de libertad.
3. Escribe la lagrangiana del sistema, así como las ecuaciones diferenciales de movimiento.
4. Se aplica sobre el disco un par de fuerzas externo ${\vec {\tau }}=\tau _{0}\cos(\omega t)\,{\vec {k}}_{1}$. Encuentra las ecuaciones de movimiento en este caso. ¿Para qué valor de $\omega$ aparece una resonancia mecánica?
5. Ahora no hay par aplicado. Se aplica una percusión ${\vec {\hat {F}}}=[{\hat {F}}_{0},{\hat {F}}_{0},0]_{1}$ sobre el punto $B$ del sólido "2". En el instante de la percusión se cumple $s(0)=l_{0}$, $\theta (0)=0$, ${\dot {s}}(0^{-})=0$, ${\dot {\theta }}(0^{-})=0$. Calcula el estado del sistema inmediatamente después de la percusión.

Aro colgando de una barra que rota

La barra homogénea $OA$ (sólido "0") tiene masa $m$ y longitud $L$. Está articulada en el punto fijo $O$ y rota de modo que está siempre contenida en el plano $OX_{1}Y_{1}$. En su extremo $A$ está articulado un aro homogéneo de radio $R$ y masa $m$ (sólido "2"). El sistema está sometido a la acción de la gravedad. Se recomienda utilizar los ángulos $\{\theta ,\psi \}$ como coordenadas para resolver el problema.

1. Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {21}, {20}.
2. Calcula las energías cinética y potencial totales del sistema.
3. Usando las herramientas de la Dinámica Analítica, encuentra las ecuaciones de movimiento.
4. Se impone el vínculo cinemático ${\dot {\theta }}=\omega _{0}$. Determina el par necesario para imponer dicho vínculo. Supón que en el instante inicial se tiene $\theta (0)=0$, $\psi (0)=0$.
5. Supongamos que las coordenadas $\{\theta ,\psi \}$ son de nuevo libres. Supón que se tiene $\theta (0)=0$, $\psi (0)=0$. En ese instante una percusión ${\vec {\hat {F}}}=[{\hat {F}}_{0},{\hat {F}}_{0},0]_{1}$ actúa sobre el punto $A$. Determina el estado cinemático del sistema justo después de la percusión.

Barra rotando alrededor de barra horizontal con muelle

Una barra de longitud $2d$ y masa despreciable (sólido "0") puede rotar alrededor del eje $OZ_{1}$. El punto $O$ de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el plano $OX_{1}Y_{1}$. Otra barra, también de longitud $2d$ y masa $m$ (sólido "2"), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto $A$. El pasador desliza sobre la barra "0". Además, la barra "2" gira alrededor de la barra "0". Un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula $l_{0}=d$ conecta los puntos $O$ y $A$.

1. Determina las reducciones cinemáticas $\{01\},\{20\}$ y $\{21\}$ en $G$.
2. Calcula el momento cinético de la barra "2" respecto de $G$.
3. A partir de ahora suponemos que $\phi ={\dot {\phi }}={\ddot {\phi }}=0$, es decir, la coordenada $\phi$ ya no es un grado de libertad. Escribe las ecuaciones de Lagrange del sistema.
4. En $t=0$ tenemos $s(0)=d$, $\theta (0)=-\pi /2$, ${\dot {s}}(0)=0$ y ${\dot {\theta }}=0$ ($\phi$ sigue estando fijada). La barra "2" recibe una percusión ${\vec {\hat {F}}}=[{\hat {F}}_{0},0,{\hat {F}}_{0}]_{1}$ en el punto B. Determina el estado del sistema justo después de la percusión.

Disco rodando sobre plataforma con muelle

Un disco de masa $m$ y radio $R$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una placa rectangular de masa $m$ (sólido "0"). La placa desliza sin rozamiento sobre el eje fijo $O_{1}X_{1}$. Un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula conecta la placa con el eje $O_{1}Y_{1}$.

1. Encuentra la reducción cinemática del movimiento absoluto.
2. Escribe la Lagrangiana del sistema.
3. Escribe las ecuaciones de Lagrange.
4. En el estado inicial los dos sólidos están en reposo y $x_{0}(0)=0$, $x_{2}(0)=L/2$. Se somete la placa a una percusión ${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$ aplicada en su extremo izquierdo. ¿Cuánto valen las velocidades generalizadas inmediatamente después de la percusión? ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones de la placa en el movimiento después de la percusión?

Disco rodando en cavidad con muelle de torsión

Un disco de radio $R$ y masa $m$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie circular cóncava (sólido "1") de radio $3R$. En el centro del disco se articula una barra (sólido "0") de masa despreciable y longitud $2R$. El otro extremo de la barra se articula en un punto fijo $O$. La barra está conectada a su vez a un resorte de torsión en el punto $O$. Este resorte ejerce un momento sobre la barra, perpendicular al plano de la figura, de modo que la energía potencial asociada a él se puede expresar como $U_{k}=k\phi ^{2}$, siendo $k$ una constante.

1. Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Cuál es la relación entre ${\dot {\phi }}$ y ${\dot {\psi }}$?.
2. Calcula la energía cinética del disco y su energía potencial.
3. Escribe la Lagrangiana del sistema y la ecuación diferencial que rige el movimento. Si el ángulo $\phi$ es pequeño, demuestra que el movimiento es armónico simple y encuentra el período de oscilación.
4. Estando el disco en reposo y con $\phi =0$, se aplica al centro del disco una percusión ${\hat {\vec {F}}}={\hat {F}}_{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}$. Encuentra la velocidad del centro del disco después de la percusión así como el valor mínimo de esta para que el centro del disco llegue hasta el eje.

Barra con muelle horizontal

Una barra de longitud $2a$ y masa $m$ (sólido "2") desliza con un extremo (punto $A$) apoyado sobre un plano horizontal liso. El extremo $A$ está unido a un muelle de constante elástica k y longitud natural nula anclado en $C$ que se mantiene siempre horizontal. La gravedad actúa verticalmente hacia abajo. En $t=0$ la barra estaba en reposo, el punto $A$ coincidía con $O_{1}$ y la barra estaba completamente vertical.

1. Encuentra la expresión que da la cantidad de movimiento de la barra.
2. Encuentra la expresión que da el momento cinético de la barra respecto del punto $A$.
3. Determina las ecuaciones de movimiento del sistema.
4. ¿Cómo es la fuerza de ligadura en el punto $A$?
5. Supongamos que se fuerza al punto $A$ a moverse con velocidad uniforme ${\vec {v}}_{21}^{\,A}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$. ¿Cual de estas fuerzas aplicadas en $A$ consigue ese efecto?

Placa cuadrada pivotando con muelle

El sólido "2' es una placa cuadrada y homogénea, de lado $2d$ y masa $M$. La placa está articulada en su vértice $A$, que permanece fijo. El vértice $C$ de la placa está conectado a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula, anclado en el punto $O_{1}$. En el instante inicial la posición de la placa está indicada en la figura por el cuadrado punteado. En esa posición inicial, el lado $AB_{0}$ no está apoyado en ninguna superficie. La gravedad actúa en la dirección vertical hacia abajo. Durante el movimiento de la placa el muelle permanece siempre estirado.

1. ¿Qué valor debe tener $k$ para que la posición inicial sea una posición de equilibrio? Encuentra la reducción vincular en $A$ para la situación de equilibrio.
2. Determina la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $G$ de la placa, así como su derivada temporal.
3. Una pequeña perturbación hace que la placa empiece a girar con velocidad angular inicial ${\dot {\theta }}(0)=\omega _{0}$. Encuentra la expresión de la energía cinética de la placa durante su movimiento (ver Nota).
4. Encuentra una integral primera del movimiento. Supón que el valor de $k$ corresponde a la condición de equilibrio del apartado 1.
5. Considerando el valor de $k$ del apartado anterior, discute razonadamente la estabilidad del equilibrio del apartado 1.

Nota: El momento de inercia de una placa homogénea cuadrada de masa $M$ y lado $l$, respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro es $Ml^{2}/6$.

Barra con centro deslizando sobre eje

Una barra homogénea delgada (sólido "2") de masa $M$ y longitud $2L$ se mueve de modo que su centro se encuentra siempre sobre el eje $OZ_{1}$. La barra tiene dos grados de libertad de rotación. El sistema auxiliar $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$ se define de modo que la barra esté siempre contenida en el plano $OX_{0}Z_{0}$. La barra está sometida a la acción de la gravedad, como se indica en la figura. El contacto de la barra con el eje $OZ_{1}$ es liso.

1. Calcula las reducciones cinematicas en el centro de la barra de los tres movimientos que se pueden definir en el problema.
2. Encuentra la expresión del momento cinético de la barra respecto de su centro.
3. Encuentra la expresión de la energía cinética de la barra.
4. Escribe la Lagrangiana del sistema, así como una integral primera que no sea la energía mecánica.
5. En el instante inicial, el centro de la barra se encuentra en el punto $O$ y los valores iniciales de las coordenadas angulares son $\theta (0)=\pi /2$ y $\phi (0)=0$. La barra se encuentra en reposo. Se ejerce una percusión ${\hat {\vec {F}}}={\hat {F}}_{0}\,({\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {k}}_{0})$ aplicada en el punto $B$. Determina los valores de las velocidades generalizadas justo después de la percusión.

Estudio analítico de máquina de Atwood

Una máquina de Atwood está formada por dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ unidas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea ideal, sin rozamiento y sin masa.

1. Empleando el principio de D’Alembert halle la aceleración de cada una de las masas.
2. Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, calcule la tensión del hilo que pasa por la polea.
3. Suponga ahora que la polea es un disco de radio $R$ con momento de inercia $I$. ¿Cómo queda en ese caso la aceleración de las masas? ¿Y las tensiones de la cuerda?

Solución

Estudio analítico del plano inclinado

Una partícula de masa $m$ desliza sin rozamiento por un plano inclinado, de base $b$ y altura $h$, sometida a la fuerza de la gravedad y las fuerzas de reacción. Empleando como coordenadas las cartesianas de la partícula con el eje OX horizontal y el OY vertical:

1. Escriba la ecuación del vínculo entre las coordenadas.
2. A partir del principio de D’Alembert, obtenga las componentes de la aceleración de la masa.
3. Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, halle las componentes de la fuerza de reacción del plano sobre la masa.

Solución

Estudio analítico del péndulo simple

Empleando el principio de D’Alembert, obtenga las ecuaciones de movimiento para las coordenadas cartesianas de un péndulo simple que oscila verticalmente.

Solución

Estudio analítico de dos masas unidas por un muelle

Como en el problema “Dos masas unidas por un muelle” tenemos dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ se mueven a lo largo del eje OX unidas por un resorte de constante $k$ y longitud natura $\ell _{0}$. Inicialmente las dos masas se encuentran en reposo en $x_{10}=0$ y $x_{20}=\ell _{0}$. Entonces se le comunica a la masa $m_{1}$ una velocidad $v_{0}$ en el sentido positivo del eje.

1. Determine la lagrangiana del sistema en función de las posiciones de las dos partículas.
2. Obtenga las ecuaciones de movimiento para $x_{1}$ y $x_{2}$

Realice el cambio de variables a las coordenadas generalizadas $x_{G}=(m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2})/(m_{1}+m_{2})$, $x=x_{2}-x_{1}-\ell _{0}$.

3. ¿Cómo queda la lagrangiana en función de estas coordenadas?
4. Obtenga las ecuaciones de movimiento para $x_{G}$ y $x$.
5. Determine dos constantes de movimiento para este sistema.

Solución

Estudio analítico de una barra apoyada

Como en el problema “Barra deslizante con masas en los extremos”, supongamos que tenemos una barra de masa m y longitud b apoyada en el suelo y en una pared vertical, sometida a la acción del peso (vertical y hacia abajo) y a las fuerzas de reacción en los puntos de contacto. No hay rozamiento con las superficies

1. Determine la lagrangiana del sistema.
2. Halle la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
3. Determine una constante de movimiento no trivial.
4. Añadiendo una coordenada x que representaría la separación de la barra respecto de la pared vertical, calcule la fuerza de reacción ejercida por la pared.
5. Existe un valor de θ para el cual la barra se separa de la pared. Determine este valor.
6. Halle la ecuación de movimiento para la barra una vez que se ha separado de la pared.

Solución

Péndulo compuesto

Para el sistema del problema “Péndulo compuesto” analice el problema general mediante las técnicas de mecánica analítica. Se tiene una barra homogénea de longitud b y masa m, articulada mediante una rótula en un extremo O y sometida a la acción de la gravedad. La barra puede tanto variar su ángulo θ con la vertical como el ángulo ϕ alrededor de OZ.

Para este sistema

1. Calcule la lagrangiana del sistema.
2. Halle las ecuaciones de movimiento para los dos ángulos de giro, θ y ϕ
3. Obtenga dos constantes de movimiento no triviales.
4. Con ayuda de las constantes de movimiento, halle una ecuación que incluya solamente a θ
5. Calcule el valor que debe tener la velocidad angular ${\dot {\phi }}$ si se desea que la barra mantenga una inclinación constante respecto a la vertical.

Solución

Dos barras articuladas

Un sistema está formado por dos varillas homogéneas, ambas de masa $m$ y longitud $b$, situadas sobre un plano horizontal (“sólido 1”). La varilla “2” está articulada por su extremo O a un punto fijo del plano, mientras que por su extremo A está articulada a la varilla “3”.

1. Escriba la lagrangiana del sistema, empleando como coordenadas generalizadas los ángulos que ambas varillas forman con el eje OX.
2. Obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos.
3. ¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?

Si en lugar de esas coordenadas se usan el ángulo ϕ que la varilla OA forma con OX y el ángulo θ que AB forma con la prolongación de OA

4. ¿Cómo queda la lagrangiana?
5. ¿Y las ecuaciones de movimiento para estos ángulos?
6. ¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?
7. Determine dos constantes de movimiento para este sistema.
8. Con ayuda de estas constantes, reduzca el problema a una única ecuación de movimiento para el ángulo θ.

Suponga ahora que la varilla 2 es forzada a girar con velocidad angular constante Ω en torno a O.

9. Escriba la lagrangiana para este sistema en función del ángulo θ.
10. Obtenga la ecuación de movimiento para θ. ¿Es la misma que en el apartado (8)?
11. ¿Se conserva la energía en este sistema? ¿Hay alguna otra constante de movimiento?

Solución

Dos rodillos unidos por un resorte

Se tiene un sistema de dos rodillos (“2” y “3”) de la misma masa m y el mismo radio R, situados sobre una superficie horizontal (sólido 1), sobre la que pueden rodar sin deslizar. Los dos rodillos no son idénticos. El “2” es un cilindro macizo homogéneo ($\gamma =1/2$), mientras que el “3” tiene su masa concentrada en la superficie cilíndrica ($\gamma =1$). Los dos rodillos están conectados por un resorte de constante k y longitud natural $\ell _{0}$. Todo el sistema está sometido a la acción del peso.

Estando en reposo en una posición de equilibrio, se sujeta el cilindro 2 y se desplaza el 3 una cierta distancia A, manteniéndolos en reposo. Entonces se sueltan los dos.

1. Halle la lagrangiana de este sistema, empleando como coordenadas generalizadas las posiciones $x_{2}$ y $x_{3}$ de las centros de los rodillos, medidas respecto a un sistema fijo.
2. Halle las ecuaciones de movimiento para las posiciones de los centros de los rodillos, esto es, halle ${\ddot {x}}_{2}$ y ${\ddot {x}}_{3}$ en función de las posiciones $x_{2}$ y x_3.

Si en lugar de $x_{2}$ y $x_{3}$ se emplean como coordenadas $x_{2}$ y $x$, definida x como la longitud del resorte menos su longitud en el equilibrio

3. ¿Cómo queda la lagrangiana en función de $x_{2}$ y $x$?
4. ¿Y las ecuaciones de movimiento para estas coordenadas?
5. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación del resorte?
6. ¿Y la posición de cada masa como función del tiempo?
7. ¿Qué constantes de movimiento existen en este problema?

Solución

Estudio analítico de una partícula dentro de un tubo

Una partícula de masa $m$ se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular Ω constante alrededor del eje OZ

1. Determine la lagrangiana de este sistema.
2. Halle la ecuación de movimiento para la coordenada radial ρ.
3. ¿Se conserva la energía en este sistema? Si no es así, ¿hay alguna otra magnitud similar que sí se conserve?
4. Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, calcule la fuerza de reacción generalizada que el tubo ejerce sobre la partícula.

Solución

Percusión sobre una barra. Estudio analítico

Suponga una barra homogénea, de masa $m$ y longitud $b$, situada horizontalmente sobre un plano sin rozamiento.

Estando la barra en reposo, se efectúa sobre ella una percusión ${\vec {P}}_{0}$ perpendicular a la dirección de la barra y a una distancia c de su centro.

Empleando las técnicas de la mecánica analítica, determine la velocidad del centro de la barra y la velocidad angular de ésta, así como las posibles fuerzas y momentos impulsivos de reacción, en los casos siguientes:

1. La barra puede moverse libremente por el plano.
2. La barra se halla articulada por un extremo A a una pared inmóvil.
3. La barra se halla empotrada por su extremo A a una pared inmóvil.

Solución

Percusión sobre un sistema articulado

Considerando el sistema de dos barras articuladas del problema “dos barras articuladas” suponga que el sistema se halla completamente extendido y en reposo. Entonces, se efectúa una percusión ${\vec {P}}_{0}$ perpendicular a la dirección de las barras y a una distancia c de la articulación A entre las dos barras.

Determine la velocidad angular de cada barra, así como la velocidad de los puntos A y B (extremo libre de la segunda barra) en los casos:

1. Se golpea la barra OA en un punto D a una distancia c de la articulación A.
2. Se golpea la barra AB en un punto D a una distancia c de la articulación A.

Solución