Percusión sobre una barra. Estudio analítico

Enunciado

Suponga una barra homogénea, de masa $m$ y longitud $b$, situada horizontalmente sobre un plano sin rozamiento.

Estando la barra en reposo, se efectúa sobre ella una percusión ${\vec {P}}_{0}$ perpendicular a la dirección de la barra y a una distancia c de su centro.

Empleando las técnicas de la mecánica analítica, determine la velocidad del centro de la barra y la velocidad angular de ésta, así como las posibles fuerzas y momentos impulsivos de reacción, en los casos siguientes:

1. La barra puede moverse libremente por el plano.
2. La barra se halla articulada por un extremo O a una pared inmóvil.
3. La barra se halla empotrada por su extremo O a una pared inmóvil.

Barra libre

La ecuación básica que gobierna un sistema sometida a percusiones es la de Lagrange

$\Delta \left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\hat {Q}}_{k}$

suponiendo coordenadas independientes y siendo ${\hat {Q}}_{k}$ la percusión generalizada

${\hat {Q}}_{k}=\sum _{i}P_{i}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}$

En nuestro caso el sistema tiene tres grados de libertad, que podemos parametrizar con las dos coordenadas cartesianas del CM y el ángulo θ que la barra forma con OX. Tomamos los ejes de manera que la barra se encuentra inicialmente sobre el eje OX con un extremo en el origen. En este sistema la percusión se aplica en

${\overrightarrow {OA}}=\left({\frac {b}{2}}+c\right){\vec {\imath }}$

y tiene el valor

${\vec {P}}_{0}=P_{0}{\vec {\jmath }}$

La energía cinética de la barra, en función de estas coordenadas queda

$T={\frac {m}{2}}({\dot {x}}_{G}^{2}+{\dot {y}}_{G}^{2})+{\frac {1}{24}}mb^{2}{\dot {\theta }}^{2}$

Aplicando la ecuación de Lagrange a cada coordenada obtenemos las componentes de la velocidad del CM y la velocidad angular.

Coordenada x

El primer miembro de la ecuación nos da

$\Delta \left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}_{G}}}\right)=m({\dot {x}}_{G}^{+}-\overbrace {{\dot {x}}_{G}^{-}} ^{=0})=m{\dot {x}}_{G}^{+}$

Para el segundo miembro, si A es el punto donde se aplica la percusión, queda

${\hat {Q}}_{x}=\overbrace {P_{0x}} ^{=0}{\frac {\partial x_{A}}{\partial x_{G}}}+P_{0y}{\frac {\partial y_{A}}{\partial x_{G}}}=P_{0}{\frac {\partial y_{A}}{\partial x_{G}}}$

Para obtener esta derivada parcial debemos relacionar la posición del punto A con la de G. En general esta relación es

$x_{A}=x_{G}+c\cos(\theta )\qquad \qquad y_{A}=y_{G}+c\,\mathrm {sen} (\theta )$

de donde

${\frac {\partial y_{A}}{\partial x_{G}}}=0$

es decir, que mover la barra a derecha o izquierda (variar $x_{G}$) no cambia la posición vertical del punto A.

Alternativamente puede emplearse la relación entre velocidades, ya que

${\frac {\partial y_{A}}{\partial x_{G}}}={\frac {\partial {\dot {y}}_{A}}{\partial {\dot {x}}_{G}}}$

Por la expresión del campo de velocidades

${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{G}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {GA}}=({\dot {x}}_{G}{\vec {\imath }}+{\dot {y}}_{G}{\vec {\jmath }})+{\dot {\theta }}{\vec {k}}\times (c{\vec {\imath }})$

lo que da las relaciones

$\left\{{\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{A}&=&{\dot {x}}_{G}\\{\dot {y}}_{A}&=&{\dot {y}}_{G}+c{\dot {\theta }}\end{array}}\right.$

Obtenemos igualmente

${\frac {\partial {\dot {y}}_{A}}{\partial {\dot {x}}_{G}}}=0$

Aunque el uso de las velocidades parece más complicado, tiene la ventaja de que solo hay que emplear la posición instantánea y no una posición general de la barra.

Por tanto, el CM de la barra no adquiere velocidad en la dirección x

$m{\dot {x}}_{G}^{+}=0$

Coordenada y

Operamos igualmente y obtenemos

$m{\dot {y}}_{G}^{+}={\hat {Q}}_{y}=P_{0}{\frac {\partial y_{A}}{\partial y_{G}}}$

Esta derivada ya no es nula

${\frac {\partial y_{A}}{\partial y_{G}}}={\frac {\partial {\dot {y}}_{A}}{\partial {\dot {y}}_{G}}}=1$

lo que nos da la componente y de la velocidad del CM

${\dot {y}}_{G}^{+}={\frac {P_{0}}{m}}$

A este mismo resultado se llega por aplicación del teorema de la cantidad de movimiento en mecánica vectorial.

Coordenada θ

Operamos igualmente y obtenemos

${\frac {mb^{2}}{12}}{\dot {\theta }}^{+}={\hat {Q}}_{\theta }=P_{0}{\frac {\partial y_{A}}{\partial \theta }}$

Esta derivada tampoco es nula. Aquí ya hay una ventaja en emplear la relación entre velocidades, ya que permite evitar los senos y cosenos

${\frac {\partial y_{A}}{\partial \theta }}={\frac {\partial {\dot {y}}_{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}=c$

lo que nos da

${\dot {\theta }}^{+}={\frac {12P_{0}c}{mb^{2}}}$

A este mismo resultado se llega por aplicación del teorema del momento cinético.

En forma vectorial, la velocidad del CM y la angular justo tras la percusión valen

${\vec {v}}_{G}^{+}={\frac {P_{0}}{m}}{\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\vec {\omega }}={\frac {12P_{0}c}{mb^{2}}}$

El centro de percusiones (centro instantáneo de rotación justo tras la percusión, esto es, el punto alrededor del que empieza a girar) se halla en

${\frac {GI}{=}}{\frac {{\vec {k}}\times {\vec {v}}_{G}^{+}}{\omega ^{+}}}=-{\frac {b^{2}}{12c}}{\vec {\imath }}$

Si $c=b/6$, este CIR se halla en el extremo O de la barra.

Barra articulada

Velocidad angular

Si la barra está articulada en O, pasa a tener un solo grado de libertad, ya que ahora está sometida a dos vínculos adicionales

$x_{O}=0\qquad \qquad y_{O}=0$

La energía cinética puede ahora calcularse empleando el punto O como referencia. En este caso, el momento de inercia es $mb^{2}/3$ con lo que queda

$T={\frac {1}{2}}mb^{2}{\dot {\theta }}^{2}$

Derivando como en el caso libre llegamos a la ecuación

${\frac {mb^{2}}{3}}{\dot {\theta }}^{+}={\hat {Q}}_{\theta }=P_{0}{\frac {\partial y_{A}}{\partial \theta }}=P_{0}{\frac {\partial {\dot {y}}_{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}$

La velocidad de A en este caso es

${\vec {v}}_{A}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OA}}={\dot {\theta }}\left({\frac {b}{2}}+c\right){\vec {\jmath }}$

con lo que

${\frac {\partial {\dot {y}}_{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {b}{2}}+c$

Resulta entonces la velocidad angular

${\dot {\theta }}^{+}={\frac {3}{mb^{2}}}P_{0}\left({\frac {b}{2}}+c\right)={\frac {3P_{0}(b+2c)}{2mb^{2}}}$

Fuerza de reacción

El cálculo de la fuerza de reacción en analítica es menos intuitivo que en vectorial. La idea es que se trata de buscar la percusión generalizada que garantiza que un vínculo se cumple. Es decir, suponemos que $y_{O}$ es una coordenada independiente, pero que existe una fuerza que obliga a que en todo momento $y_{O}=0$. Esta percusión generalizada cumple

$\Delta \left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}_{O}}}\right)={\hat {Q}}_{y_{O}}^{n}+{\hat {Q}}_{y_{O}}$

Aquí ${\hat {Q}}_{y_{O}}$ es la percusión generalizada aplicada y ${\hat {Q}}_{y_{O}}^{n}$ es la de reacción.

El problema que encontramos es que la energía cinética que hemos dado no depende de $y_{O}$ ya que fue calculada suponiendo que esta cantidad es constante e igual a cero. Por ello, es preciso volverla a calcular admitiendo que $y_{O}$ es una coordenada libre. Esto plantea un problema adicional ya que al ser O ahora un punto móvil, la expresión de la energía cinética incluye términos adicionales. Por ello volvemos al teorema de König

$T={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}_{G}^{2}+{\dot {y}}_{G}^{2})+{\frac {mb^{2}}{24}}{\dot {\theta }}^{2}$

La velocidad del CM la obtenemos del campo de velocidades.

${\vec {v}}_{G}={\vec {v}}_{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OG}}={\dot {x}}_{O}{\vec {\imath }}+\left({\dot {y}}_{O}+{\frac {b}{2}}{\dot {\theta }}\right){\vec {\jmath }}$

Aquí se ha hecho una simplificación importante, ya que hemos considerado la posición instantánea con $\theta =0$ en lugar de una orientación general. Esto quiere decir que no estamos calculando la energía cinética en su forma general. Sin embargo, aun así permite calcular el resultado correcto. La razón es que la derivada que debemos calcular es respecto a las velocidades, no las posiciones (que no cambian durante una percusión), por lo que derivar y después sustituir las coordenadas es lo mismo que primero sustituir y después derivar.

Con esta observación, la energía cinética nos queda

$T={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}_{O}^{2}+{\dot {y}}_{O}^{2})+{\frac {mb}{2}}{\dot {y}}_{O}{\dot {\theta }}+{\frac {mb^{2}}{6}}{\dot {\theta }}^{2}$

Con esto hallamos la reacción en la dirección X

$m\overbrace {{\dot {x}}_{O}^{+}} ={\hat {Q}}_{x_{O}}^{n}\qquad \Rightarrow \qquad {\hat {Q}}_{x_{O}}^{n}=0$

y en la dirección Y

$\Delta \left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}_{O}}}\right)=m\left(\overbrace {{\dot {y}}_{O}^{+}} ^{=0}+{\frac {b}{2}}{\dot {\theta }}^{+}\right)$

Por tanto

${\hat {Q}}_{y_{O}}^{n}={\frac {mb}{2}}{\dot {\theta }}^{+}-{\hat {Q}}_{y_{O}}$

Para la percusión generalizada en A aplicamos que

${\dot {y}}_{A}={\dot {y}}_{O}+{\dot {\theta }}\left(c+{\frac {b}{2}}\right)\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {\partial {\dot {y}}_{A}}{\partial y_{O}}}=1$

y

${\hat {Q}}_{y_{O}}=P_{0}{\frac {\partial {\dot {y}}_{A}}{\partial {\dot {y}}_{O}}}=P_{0}$

Por tanto

${\hat {Q}}_{y_{O}}^{n}={\frac {mb}{2}}\left({\frac {3P_{0}(b+2c)}{2mb^{2}}}\right)-P_{0}={\frac {6c-b}{4b}}P_{0}$

Vemos que la percusión de reacción puede tener un sentido u otro según el punto de aplicación. En particular, si $c=b/6$, para el cual centro de percusiones es el punto O, la reacción es nula.

Barra empotrada

Cuando la barra está empotrada, ya no le quedan grados de libertad, puesto que se halla sometida a tres vínculos

$x_{O}=0\qquad \qquad y_{O}=0\qquad \qquad \theta =0$

En este caso, las velocidades antes y después de la percusión son nulas. Los efectos de la percusión aplicada se ven anulados por las percusiones de reacción. En este caso tenemos también un momento percusional de reacción, que impide el giro de la barra.

Para hallar el valor de estas reacciones seguiríamos empleando las mismas ecuaciones

$\Delta \left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}_{O}}}\right)={\hat {Q}}_{y_{O}}^{n}+{\hat {Q}}_{y_{O}}$

pero en este caso el primer miembro, antes y después de la percusión, es nulo. Por tanto, las reacciones en y vale simplemente

${\hat {Q}}_{y_{O}}^{n}=-{\hat {Q}}_{y_{O}}$

y análogamente para las otras dos coordenadas.

Así tenemos, en x,

${\hat {Q}}_{x_{O}}^{n}=-{\hat {Q}}_{x_{O}}=0$

en y

${\hat {Q}}_{y_{O}}^{n}=-{\hat {Q}}_{y_{O}}=-P_{0}{\frac {\partial {\dot {y}}_{A}}{\partial {\dot {y}}_{O}}}=-P_{0}$

y en θ (lo que sería el momento impulsivo de reacción)

${\hat {Q}}_{\theta }^{n}=-{\hat {Q}}_{\theta }=-P_{0}{\frac {\partial {\dot {y}}_{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}=-P_{0}\left({\frac {b}{2}}+c\right)$