Enunciado

Un disco homogéneo (sólido "2") de masa y radio puede rotar alrededor de su centro , que se mantiene fijo. Una deslizadera vertical (sólido "0"), de masa puede moverse a lo largo del eje , de modo que en el punto de contacto el disco rueda sin deslizar sobre el sólido "0". La deslizadera está conectada a un muelle de constante elástica y longitud natural . El otro extremo del muelle está anclado en un punto fijo del eje , de modo que se mantiene siempre vertical. El sistema está sometido a la acción de la gravedad como se indica en la figura.

  1. ¿Cuantos grados de libertad tiene el sistema? Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas temporales. El resultado debe quedar en función del número de grados de libertad y sus derivadas temporales.
  2. Calcula las energías cinética y potencial del sistema en función de sus grados de libertad.
  3. Escribe la lagrangiana del sistema, así como las ecuaciones diferenciales de movimiento.
  4. Se aplica sobre el disco un par de fuerzas externo . Encuentra las ecuaciones de movimiento en este caso. ¿Para qué valor de aparece una resonancia mecánica?
  5. Ahora no hay par aplicado. Se aplica una percusión sobre el punto del sólido "2". En el instante de la percusión se cumple , , , . Calcula el estado del sistema inmediatamente después de la percusión.

Solución

Reducciones cinemáticas y grados de libertad

Movimiento {01}

La deslizadera realiza un movimiento de traslación vertical. Tenemos

No ponemos letras en la velocidad y aceleración pues es una traslación y son iguales en todos los puntos.

Movimiento {21}

El disco hace una rotación con su centro fijo. Tenemos

Movimiento {20}

Usamos las reglas de composición

Grados de libertad

La condición de rodadura sin deslizamiento impone una ligadura entre y

Es decir, el sistema tiene un grado de libertad. Elegiremos para describir el movimiento.

Energía cinética y potencial

La energía cinética total es la suma de la energía cinética de cada sólido

La deslizadera tiene sólo energía cinética de traslación

El disco tiene sólo energía cinética de rotación

La energía cinética total es

La deslizadera tiene energía potencial y elástica. El centro del masas del disco no cambia su altura, por lo que su energía potencial gravitatoria es constante y no afecta a la dinámica del sistema. Podemos ignorarla. Tenemos

Lagrangiana y ecuaciones de Euler

La función de Lagrange es

La ecuación de Euler para es

Haciendo las derivadas obtenemos

Podemos reordenar la ecuación

Es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico con frecuencia angular y período

La posición de equilibrio se obtiene imponiendo

Aplicación de un par de fuerzas externo

El par de fuerzas externo introduce una fuerza generalizada no conservativa en la ecuación de Euler

El lado izquierdo de la ecuación queda igual que antes. Calculamos la fuerza generalizada

La ecuación del movimiento es

Es la ecuación de un oscilador forzado con un término de forzamiento dado por el par de fuerzas y de frecuencia . La resonancia mecánica aparece cuando esta frecuencia se acerca a la frecuencia natural del oscilador calculada antes

Percusión

Ahora, sin par de fuerzas externo, se aplica una percusión en de forma

La ecuación de Lagrange percusiva es

El momento generalizado es

Entonces

La percusión generalizada es

La velocidad absoluta en es

La percusión generalizada es

La velocidad generalizada justo después de la percusión es