Estudio analítico de una barra apoyada

Enunciado

Supongamos que tenemos una barra de masa m y longitud b apoyada en el suelo y en una pared vertical, sometida a la acción del peso (vertical y hacia abajo) y a las fuerzas de reacción en los puntos de contacto. No hay rozamiento con las superficies

1. Determine la lagrangiana del sistema.
2. Halle la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
3. Determine una constante de movimiento no trivial.
4. Añadiendo una coordenada x que representaría la separación de la barra respecto de la pared vertical, calcule la fuerza de reacción ejercida por la pared.
5. Existe un valor de θ para el cual la barra se separa de la pared. Determine este valor.
6. Halle la ecuación de movimiento para la barra una vez que se ha separado de la pared.

Lagrangiana del sistema

Energía cinética

Podemos hallar la energía cinética a partir de la expresión general para un sólido

$T={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{G}|^{2}+{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\bar {\bar {I}}}\cdot {\vec {\omega }}$

En el caso de un movimiento plano esta expresión se reduce a

$T={\frac {1}{2}}n({\dot {x}}_{G}^{2}+{\dot {y}}_{G}^{2})+{\frac {1}{2}}I_{zz}\omega ^{2}$

La posición del CM es, en función de θ

$x_{G}={\frac {b}{2}}\mathrm {sen} (\theta )={\frac {b}{2}}S\qquad \qquad y_{G}={\frac {b}{2}}\mathrm {cos} (\theta )={\frac {b}{2}}C$

y su velocidad

${\dot {x}}_{G}={\frac {b}{2}}{\dot {\theta }}C\qquad \qquad {\dot {y}}_{G}=-{\frac {b}{2}}{\dot {\theta }}S$

Esto nos da la energía cinética

$T={\frac {1}{2}}\left({\frac {b^{2}}{4}}{\dot {\theta }}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{12}}mb^{2}\right){\dot {\theta }}^{2}={\frac {mb^{2}}{6}}{\dot {\theta }}^{2}$

También podemos llegar a este resultado empleando la expresión para una barra conocidas las velocidades de sus extremos A y B

$T={\frac {m}{6}}(|{\vec {v}}_{A}|^{2}+|{\vec {v}}_{B}|^{2}+{\vec {v}}_{A}\cdot {\vec {v}}_{B})$

Energía potencial

La energía potencial gravitatoria la da la altura del CM

$U=mgy_{G}={\frac {mgb}{2}}C$

Lagrangiana

Restamos las dos cantidades

${\mathcal {L}}=T-U={\frac {mb^{2}}{6}}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {mgb}{2}}C$

Ecuación de movimiento

Aplicamos la ecuación de Lagrange a la coordenada θ

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {mb^{2}}{3}}{\dot {\theta }}\qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)={\frac {mb^{2}}{3}}{\ddot {\theta }}\qquad \qquad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\theta }}}={\frac {mgb}{2}}S$

lo que nos da la ecuación de movimiento

${\frac {mb^{2}}{3}}{\ddot {\theta }}-{\frac {mgb}{2}}S=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\theta }}={\frac {3g}{2b}}\mathrm {sen} (\theta )$

Vemos que empleando la mecánica analítica llegamos al resultado de forma mucho más corta que mediante mecánica vectorial, ya que no precisamos considerar la acción de las fuerzas de reacción.

Constante de movimiento

La lagrangiana de este problema no depende del tiempo y la energía cinética es una función cuadrática de la velocidad generalizada. Por tanto se conserva la energía mecánica

$E=T+U={\frac {mb^{2}}{6}}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {mgb}{2}}C=\mathrm {cte.}$

Fuerza de reacción

La fuerza de reacción está asociada al hecho de que el extremo superior B de la barra está adosado a la pared. Si x es la distancia de B a la pared,

$x=0\,$

Para obtener la fuerza de reacción que garantiza este vínculo debemos suponer que la barra podría atravesar la pared, pero si no lo hace es porque hay una fuerza que se lo impide. Esta fuerza se calcula mediante la ecuación de Lagrange para la coordenada x

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=\lambda =F_{x}$

Sin embargo, para llegar a este resultado debemos calcular de nuevo la lagrangiana, ya que antes la hallamos presuponiendo el vínculo $x=0$. Si deshacemos este vínculo y suponemos que la barra puede estar a una distancia x de la pared, la posición del CM es

$x_{G}=x+{\frac {b}{2}}S\qquad \qquad y_{G}={\frac {b}{2}}C$

y su velocidad

${\dot {x}}_{G}={\dot {x}}+{\frac {b}{2}}{\dot {\theta }}C\qquad \qquad {\dot {y}}_{G}=-{\frac {b}{2}}{\dot {\theta }}S$

lo que llevado a la lagrangiana nos da

${\mathcal {L}}=T-U={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {mb}{2}}{\dot {x}}{\dot {\theta }}C+{\frac {mb^{2}}{6}}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {mgb}{2}}C$

Calculamos ahora el momento conjugado de la coordenada x y su derivada temporal

$p_{x}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}+{\frac {mb}{2}}{\dot {\theta }}C\qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}}+{\frac {mb}{2}}{\ddot {\theta }}C-{\frac {mb}{2}}{\dot {\theta }}^{2}S$

x es una coordenada cíclica, ya que no aparece en la lagrangiana, por lo que la fuerza en x es igual a

$F_{x}=m{\ddot {x}}+{\frac {mb}{2}}{\ddot {\theta }}C-{\frac {mb}{2}}{\dot {\theta }}^{2}S$

Ahora bien, esta fuerza debe ser tal que se cumpla el vínculo de que x se anule, y lo mismo con sus derivadas respecto al tiempo, lo que nos da finalmente

$F_{x}={\frac {mb}{2}}{\ddot {\theta }}C-{\frac {mb}{2}}{\dot {\theta }}^{2}S$

Separación de la pared

Al ser el vínculo unilateral, la barra se separa de la pared en el momento en que la fuerza $F_{x}$ se anule, ya que no puede ser negativa. Por tanto, la condición de separación es

${\frac {mb}{2}}{\ddot {\theta }}C-{\frac {mb}{2}}{\dot {\theta }}^{2}S=0$

Para ver en qué ángulo se produce la separación debemos sustituir la velocidad y la aceleración angular en función del ángulo. La aceleración la obtenemos de la ecuación de movimiento

${\ddot {\theta }}={\frac {3g}{2b}}S$

y la velocidad angular al cuadrado de la conservación de la energía mecánica

$E={\frac {mb^{2}}{6}}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {mgb}{2}}C\qquad \Rightarrow \qquad {\dot {\theta }}^{2}={\frac {6E}{mb^{2}}}-{\frac {3g}{b}}C$

Llegamos entonces a la ecuación

${\frac {3g}{2b}}SC-\left({\frac {6E}{mb^{2}}}-{\frac {3g}{b}}C\right)S=0$

Simplificamos aquí y llegamos al ánguloa de separación

$\theta _{s}=\arccos \left({\frac {4E}{3mgb}}\right)$

En el caso particular de que la barra se halle inicialmente vertical, apoyada en la pared

$(\theta _{0}=0)\qquad \qquad E={\frac {mgb}{2}}\qquad \Rightarrow \qquad \theta _{s}=\arccos \left({\frac {2}{3}}\right)$

Movimiento tras la separación

Una vez que separa, desaparace la fuerza $F_{x}$. A partir de ese momento la ecuación de movimiento que se cumple es

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=m{\ddot {x}}+{\frac {mb}{2}}{\ddot {\theta }}C-{\frac {mb}{2}}{\dot {\theta }}^{2}S$

La ecuación para el ángulo θ debe calcularse de nuevo empleando la lagrangiana con dos grados de libertad

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {mb}{2}}{\dot {x}}{\dot {\theta }}C+{\frac {mb^{2}}{6}}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {mgb}{2}}C$

y queda

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {mb}{2}}{\dot {x}}C+{\frac {mb^{2}}{3}}{\dot {\theta }}\qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)={\frac {mb}{2}}{\ddot {x}}C-{\frac {mb}{2}}{\dot {x}}{\dot {\theta }}S+{\frac {mb^{2}}{3}}{\ddot {\theta }}\qquad \qquad {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\theta }}}=-{\frac {mb}{2}}{\dot {x}}{\dot {\theta }}S+{\frac {mgb}{2}}S$

lo que nos da la ecuación

${\frac {3}{2b}}{\ddot {x}}C+{\ddot {\theta }}-{\frac {3g}{2b}}S=0$

Combinando esta ecuación con la de movimiento en x, obtenemos una ecuación exclusivamente para θ

${\ddot {\theta }}={\frac {3S(2g-bC{\dot {\theta }}^{2})}{b(4-3C^{2})}}$