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Aro colgando de una barra que rota, Enero 2015 (MR G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La barra homogénea OA (sólido "0") tiene masa m y longitud L. Está articulada en el punto fijo O y rota de modo que está siempre contenida en el plano OX1Y1. En su extremo A está articulado un aro homogéneo de radio R y masa m (sólido "2"). El sistema está sometido a la acción de la gravedad. Se recomienda utilizar los ángulos {θ,ψ} como coordenadas para resolver el problema.

  1. Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {21}, {20}.
  2. Calcula las energías cinética y potencial totales del sistema.
  3. Usando las herramientas de la Dinámica Analítica, encuentra las ecuaciones de movimiento.
  4. Se impone el vínculo cinemático \dot{\theta}=\omega_0. Determina el par necesario para imponer dicho vínculo. Supón que en el instante inicial se tiene θ(0) = 0, ψ(0) = 0.
  5. Supongamos que las coordenadas {θ,ψ} son de nuevo libres. Supón que se tiene θ(0) = 0, ψ(0) = 0. En ese instante una percusión \vec{\hat{F}}=[\hat{F}_0,\hat{F}_0,0]_1 actúa sobre el punto A. Determina el estado cinemático del sistema justo después de la percusión.

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

2.1.1 Movimiento {01}

Este movimiento es un movimiento plano y el eje OX0 forma un ángulo θ con el eje OX1. Por tanto el vector rotación es


\vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{k}_1

El signo es positivo, pues cuando θ crece, \dot{\theta}>0, y el vector \vec{\omega}_{01} apunta en el sentido positivo del eje OZ1, como corresponde.

El punto O es un punto fijo común de la barra y los ejes "1", por tanto


\vec{v}^O_{\,01}=\vec{0}

2.1.2 Movimiento {21}

También es un movimiento plano, y el eje CX2 forma un ángulo ψ con el eje OX1, por tanto


\vec{\omega}_{21} = \dot{\psi}\,\vec{k}_1

El signo es positivo por la misma razón que en el movimiento {21}.

El punto A es un punto común en todo instante de la barra y el aro. Por tanto


\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}

Aplicando composición de movimientos tenemos


\vec{v}^{\,A}_{21} =  \vec{v}^{\,A}_{20}  + \vec{v}^{\,A}_{01}  = \vec{v}^{\,A}_{01}

Usando el teorema de Chasles para el movimiento {01} tenemos


\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA} = \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}

El vector geométrico es


\overrightarrow{OA} = L\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1

Por tanto


\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21} = -L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + L\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1

Este resultado también puede obtenerse derivando respecto al tiempo el vector \overrightarrow{OA}.

2.1.3 Movimiento {20}

Ya tenemos la velocidad del punto A


\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}

Obtenemos el vector rotación usando composición de movimientos


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01}
=
(\dot{\psi} - \dot{\theta})\,\vec{k}_1

2.2 Energías cinética y potencial

2.2.1 Energía cinética

La energía cinética tiene una contribución de la barra y otra del aro:

T = T0 + T2

El punto O es un punto fijo y el movimiento es plano. Entonces la rotación se produce alrededor de un eje principal de inercia. Por tanto


T_0 = \dfrac{1}{2}I_0|\vec{\omega}_{01}|^2 = 
\dfrac{1}{2}I_0\dot{\theta}^2

Aquí, I0 es el momento de inercia de la barra respecto de un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo


I_0 = \dfrac{1}{3}mL^2

Para el aro lo más sencillo es usar el centro de masas


T_2 = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,C}_{21}|^2 
+
\dfrac{1}{2}I_2|\vec{\omega}_{21}|^2

El primer término es la energía cinética de traslación del centro de masas y el segundo la energía cinética de rotación alrededor del centro de masas.

Usamos la reducción cinemática del movimiento {21}. De la figura vemos que


\overrightarrow{AC} = R\,\mathrm{sen}\,\psi\,\vec{\imath}_1 - R\cos\psi\,\vec{\jmath}_1

El teorema de Chasles nos dice que


\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}

Haciendo los cálculos llegamos a


\vec{v}^{\,C}_{21} = (R\dot{\psi}\cos\psi - L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1
+
(R\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\psi + L\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1

La energía de traslación del centro de masas del aro es


\dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,C}_{21}|^2 = 
\dfrac{m}{2} ( L^2\dot{\theta}^2 + R^2\dot{\psi}^2 - 2LR\dot{\theta}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi))

Para simplificar un poco la expresión hemos usado que


\mathrm{sen}\,(\alpha-\beta) = \mathrm{sen}\,\alpha\cos\beta - \mathrm{sen}\,\beta\cos\alpha

La componente de rotación alrededor del centro de masas es


\dfrac{1}{2}I_2|\vec{\omega}_{21}|^2 = \dfrac{1}{2}I_2\dot{\psi}^2

Aquí, I2 es el momento de inercia del aro respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro

I2 = mR2

La energía cinética total del aro es


T_2 = \dfrac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + \dfrac{1}{2}(I_2+mR^2)\dot{\psi}^2 - mLR\dot{\theta}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi)

La energía cinética total es


T = T_0 + T_2
=
\dfrac{1}{2}(I_0+mL^2)\dot{\theta}^2 + \dfrac{1}{2}(I_2+mR^2)\dot{\psi}^2 - mLR\dot{\theta}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi)

Sustituyendo los valores de los momentos de inercia tenemos


T  
=
\dfrac{2}{3}mL^2\dot{\theta}^2 + mR^2\dot{\psi}^2 - mLR\dot{\theta}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi)

2.2.2 Energía potencial

La energía potencial es únicamente gravitatoria. Tiene dos componentes, una de la barra y otra del aro. Escogiendo como origen de energía potencial el eje OX1 tenemos para el aro


U_0 = mgz_G = \dfrac{1}{2}mgL\,\mathrm{sen}\,\theta

Para el aro tenemos


U_2 = mgz_C = mg\,(L\,\mathrm{sen}\,\theta - R\cos\psi)

La energía potencial total es


U = U_0 + U_2 = \dfrac{3}{2}mgL\,\mathrm{sen}\,\theta - mgR\cos\psi

2.3 Ecuaciones de movimiento

El sistema es conservativo e independiente, es decir tiene dos grados de libertad y tenemos dos coordenadas generalizadas independientes. Entonces las ecuaciones de movimiento son las ecuaciones de Euler para cada coordenada:


\begin{array}{l}
\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - 
\dfrac{\partial L}{\partial\theta}=0 \\
\\
\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\psi}}\right) - 
\dfrac{\partial L}{\partial\psi}=0
\end{array}

La función lagrangiana es


L = T - U = 
\dfrac{2}{3}mL^2\dot{\theta}^2 + mR^2\dot{\psi}^2 - mLR\dot{\theta}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi)
- \dfrac{3}{2}mgL\,\mathrm{sen}\,\theta + mgR\cos\psi

2.3.1 Ecuación para θ

Tenemos


\begin{array}{l}
\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = 
\dfrac{4}{3}mL^2\dot{\theta} - mLR\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi)
\\
\\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)
=
\dfrac{4}{3}mL^2\ddot{\theta} - mLR\ddot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi) - mLR\dot{\psi}(\dot{\theta}-\dot{\psi})\cos(\theta-\psi)
\\ \\
\dfrac{\partial L}{\partial \theta} =
-mLR\dot{\theta}\dot{\psi}\cos(\theta-\psi) - \dfrac{3}{2}mgL\cos\theta
\end{array}

La ecuación de θ es


8mL^2\ddot{\theta} - 6mLR\ddot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi) + 6mLR\dot{\psi}^2\cos(\theta-\psi) + 9mgL\cos\theta = 0

2.3.2 Ecuación para ψ

Tenemos


\begin{array}{l}
\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\psi}} = 
2mR^2\dot{\psi} - mLR\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi)
\\
\\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}\right)
=
2mR^2\ddot{\psi} - mLR\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi) - mLR\dot{\theta}(\dot{\theta}-\dot{\psi})\cos(\theta-\psi)
\\ \\
\dfrac{\partial L}{\partial \psi} =
mLR\dot{\theta}\dot{\psi}\cos(\theta-\psi) - mgR\,\mathrm{sen}\,\psi
\end{array}

La ecuación de ψ es


2mR^2\ddot{\psi} - mLR\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,(\theta-\psi) - mLR\dot{\theta}(\dot{\theta}-\dot{\psi})\cos(\theta-\psi)
-mLR\dot{\theta}\dot{\psi}\cos(\theta-\psi) + mgR\,\mathrm{sen}\,\psi = 0

2.4 Vínculo cinemático \dot{\theta}=\omega_0

Utilizamos un multiplicador de Lagrange para imponer el vínculo cinemático. Con el multiplicador las ecuaciones de Lagrange se convierten en


\begin{array}{l}
\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - 
\dfrac{\partial L}{\partial\theta}= \mu\dfrac{\partial g}{\partial \dot{\theta}}
\\ \\
\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\psi}}\right) - 
\dfrac{\partial L}{\partial\psi}=\mu\dfrac{\partial g}{\partial \dot{\psi}}
\\ \\
g = \dot{\theta} - \omega_0 = 0
\end{array}

Del vínculo vemos que


\mu\dfrac{\partial g}{\partial \dot{\theta}} = 1, 
\qquad
\mu\dfrac{\partial g}{\partial \dot{\theta}} = 0

Las ecuaciones de Lagrange se convierten en, utilizando ahora la ecuación del vínculo


\begin{array}{l}
\mu = - 6mLR\ddot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t-\psi) + 6mLR\dot{\psi}^2\cos(\omega_0t-\psi) + 9mgL\cos\omega_0t
\\ \\
2mR^2\ddot{\psi} - mLR\omega_0(\omega_0t-\dot{\psi})\cos(\omega_0 t-\psi)
-mLR\omega_0\dot{\psi}\cos(\omega_0 t-\psi) + mgR\,\mathrm{sen}\,\psi = 0
\end{array}

La segunda ecuación es la ecuación de movimiento para ψ, el único grado de libertad del problema en este caso. La primera da el valor de multiplicador de Lagrange. Este multiplicador es la componente en \vec{k}_1 del par necesario para imponer el vínculo sobre θ. Podemos ver esto comparando el término de fuerza generalizada obtenido del multiplicador de Lagrange en la ecuación para θ con el que saldría si imponemos un par \vec{\tau}=\tau_0\vec{k}_1 usando el Prinicipio de Liberación


\mu\dfrac{\partial g}{\partial \dot{\theta}} = \vec{\tau}\cdot\dfrac{\partial \vec{\omega}_{01}}{\partial \dot{\theta}}

De aquí obtenemos

μ = τ0

2.5 Percusión

Consideramos de nuevo el caso en que {θ,ψ} son libres. En la configuración dada por θ(0) = 0 y ψ(0) = 0 se aplica un percusión en A


\vec{\hat{F}} = \hat{F}_0\,\vec{\imath}_1 + \hat{F}_0\,\vec{\jmath}_1

Las ecuaciones de Lagrange impulsivas son


\begin{array}{l}
\Delta p_{\theta} = \hat{Q}_{\theta}
\\ \\
\Delta p_{\psi} = \hat{Q}_{\psi}
\end{array}

Tenemos, para θ


p_{\theta} = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}} = 
\dfrac{4}{3}mL^2\dot{\theta}

y


\Delta p_{\theta} = \dfrac{4}{3}mL^2(\dot{\theta}^+-\dot{\theta}^-)

Hemos usado que en el momento de la percusión se tiene θ = 0 y ψ = 0. Para la percusión generalizada tenemos


\hat{Q}_{\theta} = \vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,A}_{21}}{\partial\dot{\theta}}
=
\hat{F}_0\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1)\cdot(- L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + L\cos\theta\,\vec{\jmath}_1)
=
\left.F_0L\,(-\,\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\right|_{\theta=0} = F_0L

Entonces


\dot{\theta}^+-\dot{\theta}^- = \dfrac{3\hat{F}_0}{4mL}

Para ψ tenemos


p_{\Psi} = \left.\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\psi}}\right|_{\theta=0,\psi=0} = 
2mR^2\dot{\psi}

y


\Delta p_{\theta} = 2mR^2(\dot{\psi}^+-\dot{\psi}^-)

Hemos usado que en el momento de la percusión se tiene θ = 0 y ψ = 0. Para la percusión generalizada tenemos


\hat{Q}_{\psi} = \vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,A}_{21}}{\partial\dot{\psi}}
=
\hat{F}_0\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1)\cdot(0\,\vec{\imath}_1 + 0\,\vec{\jmath}_1)
=
0

Entonces


\dot{\psi}^+-\dot{\psi}^- = 0

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