Un sistema está formado por dos varillas homogéneas, ambas de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m}
y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
, situadas sobre un plano horizontal (“sólido 1”). La varilla “2” está articulada por su extremo O a un punto fijo del plano, mientras que por su extremo A está articulada a la varilla “3”.
Escriba la lagrangiana del sistema, empleando como coordenadas generalizadas los ángulos que ambas varillas forman con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1}
, ϕ (para la varilla 2) y ψ (para la 3).
Obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos.
¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?
Si en lugar de esas coordenadas se usan el ángulo ϕ que la varilla OA forma con OX y el ángulo θ que AB forma con la prolongación de OA
¿Cómo queda la lagrangiana?
¿Y las ecuaciones de movimiento para estos ángulos?
¿Es cíclica alguna de estas coordenadas?
Determine dos constantes de movimiento para este sistema.
Con ayuda de estas constantes, reduzca el problema a una única ecuación de movimiento para el ángulo θ.
Suponga ahora que la varilla 2 es forzada a girar con velocidad angular constante Ω en torno a O.
Escriba la lagrangiana para este sistema en función del ángulo θ.
Obtenga la ecuación de movimiento para θ. ¿Es la misma que en el apartado (8)?
¿Se conserva la energía en este sistema? ¿Hay alguna otra constante de movimiento?
Lagrangiana del sistema
La lagrangiana del sistema se calcula como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=T-U}
siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=K}
la energía cinética y U la potencial. En este caso, que no hay ninguna fuerza externa conservativa actuando sobre las varillas, esta energía potencial es nula.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U=0\,}
La energía cinética es la suma de las de las dos varillas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=T_2+T_3\,}
La de la varilla 2 se calcula como la de una barra que gira en torno a un eje perpendicular por su extremo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}mb^2\right)\omega_{21}^2=\frac{mb^2}{6}\dot{\phi}^2}
Para la varilla 3 aplicamos el teorema de König
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_3=\frac{1}{2}m|\vec{v}^{G}_{31}|^2+\frac{1}{2}I\omega_{31}^2}
siendo G el centro de masas de la varilla 3.
No hace falta añadir más términos en la energía cinética de rotación porque el eje OZ es uno principal de inercia para ambas varillas y por tanto el momento cinético es paralelo a la velocidad angular
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}_G=\frac{1}{2}I\omega^2}
Este término de rotación vale
La velocidad del centro de la varilla 3 la calculamos mediante la expresión del campo de velocidades de un sólido
La velocidad de A la calculamos usando que es una articulación
Sustituimos la posición relativa y la velocidad angular
siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2,\vec{k}_2\}}
una base ligada al sólido 2 (aunque por ser un sistema plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_1=\vec{k}_2=\vec{k}_3}
, por lo que el subíndice es superfluo). Por otro lado,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{31}=\dot{\psi}\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{AG}=\frac{b}{2}\vec{\imath}_3\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^G_{31}=\dot{\phi}\vec{\jmath}_{2}+\frac{b}{2}\dot{\psi}\vec{\jmath}_3}
Obsérvese que la expresión contiene vectores de dos bases diferentes, por lo que hay que ser cuidadoso a la hora de hallar la energía cinética de traslación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_{3T}=\frac{1}{2}m|\vec{v}^{G}_{31}|^2=\frac{m}{2}\vec{v}^{G}_{31}\cdot\vec{v}^{G}_{31}=\frac{mb^2}{2}\left(\dot{\phi}^2+\frac{1}{4}\dot{\psi}^2+\dot{\phi}\dot{\psi}\vec{\jmath}_2\cdot\vec{\jmath}_3\right)}
El producto escalar de dos vectores unitarios es igual al coseno del ángulo que forman
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_2\cdot\vec{\jmath}_3=\cos(\psi-\phi)}
Sumando todos los términos en la energía cinética obtenemos la total, que coincide con la lagrangiana
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=T=\frac{mb^2}{6}(4\dot{\phi}^2+\dot{\psi}^2+3\dot{\phi}\dot{\psi}\cos(\psi-\phi))}
Ecuaciones de movimiento
Estas dos coordenadas son independientes, por lo que podemos emplear las ecuaciones de Lagrange.
Para la coordenada ϕ
La ecuación para esta coordenada es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0}
Calculamos en primer lugar el momento conjugado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_\phi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}= \frac{mb^2}{6}\left(8\dot{\phi}+3\dot{\psi}\cos(\psi-\phi)\right)}
siendo su derivada temporal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{p}_\phi=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)=\frac{mb^2}{6}\left(8\ddot{\phi}+3\ddot{\psi}\cos(\psi-\phi)-3\dot{\psi}(\dot{\psi}-\dot{\phi})\mathrm{sen}(\psi-\phi)\right)}
Por otro lado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=\frac{mb^2}{6}(3\dot{\phi}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}(\psi-\phi))}
Si sustituimos en la ecuación de Lagrange queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{mb^2}{6}\left(8\ddot{\phi}+3\ddot{\psi}\cos(\psi-\phi)-3\dot{\psi}(\dot{\psi}-\dot{\phi})\mathrm{sen}(\psi-\phi)-3\dot{\phi}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}(\psi-\phi)\right)=0}
que, simplificada, se reduce a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 8\ddot{\phi}+3\ddot{\psi}\cos(\psi-\phi)-3\dot{\psi}^2\,\mathrm{sen}(\psi-\phi)=0}
Para la coordenada ψ
La ecuación para esta coordenada es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\psi}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi}=0}
El momento conjugado de esta coordenada vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_\psi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\psi}}= \frac{mb^2}{6}\left(2\dot{\psi}+3\dot{\phi}\cos(\psi-\phi)\right)}
siendo su derivada temporal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{p}_\psi=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\psi}}\right)=\frac{mb^2}{6}\left(2\ddot{\psi}-3\dot{\phi}(\dot{\psi}-\dot{\phi})\mathrm{sen}(\psi-\phi)\right)}
Por otro lado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi}=-\frac{mb^2}{6}(3\dot{\phi}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}(\psi-\phi))}
Sustituimos en la ecuación de Lagrange correspondiente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{mb^2}{6}\left(2\ddot{\psi}-3\dot{\phi}(\dot{\psi}-\dot{\phi})\mathrm{sen}(\psi-\phi)+3\dot{\phi}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}(\psi-\phi)\right)=0}
que, simplificada, queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\ddot{\phi}+3\ddot{\phi}\cos(\psi-\phi)+3\dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}(\psi-\phi)=0}
Sistema de ecuaciones
Estas dos ecuaciones son acopladas en el sentido de que ambas combinan las dos aceleraciones angulares. Podemos despejar cada una de estas tratando las ecuaciones de Lagrange como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\phi}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\psi}}
). El resultado es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\phi}=\dfrac{3S \left(3 C \dot{\phi}^2+2\dot{\psi}^2\right)}{16-9 C^2}\qquad\qquad \ddot{\psi}=-\dfrac{3S \left(3 C \dot{\psi}^2+8\dot{\phi}^2\right)}{16-9 C^2}}
siendo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\mathrm{sen}(\psi-\phi)\qquad \qquad C=\cos(\psi-\phi)}
Vemos que el sistema de ecuaciones no es en absoluto trivial. Su solución requiere del uso de software para computar la evolución en el tiempo de estas variables.
Cambio de coordenadas
El sistema anterior no permite identificar de forma sencilla la existencia de constantes de movimiento. Sí se puede apreciar que la energía mecánica es una constante, ya que no hay fuerzas que realicen trabajo sobre el sistema, pero no es evidente que haya constantes adicionales.
Una forma de buscar nuevas constantes es eligiendo un sistema distinto de coordenadas generalizadas, de manera que las integrales primeras aparezcan de forma natural.
Tal como se indica en el enunciado, vamos a emplear como coordenadas el mismo ángulo φ que forma el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_2}
con el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1}
y el ángulo θ que forma el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_3}
con el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_2}
, es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi=\theta+\phi\qquad\qquad \dot{\psi}=\dot{\phi}+\dot{\theta}}
Para obtener la nueva lagrangiana no hace falta calcular la energía cinética desde el principio. Basta sustituir en la expresión final. El resultado es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=\frac{mb^2}{6}(4\dot{\phi}^2+(\dot{\phi}+\dot{\theta})^2+3\dot{\phi}(\dot{\phi}+\dot{\theta})\cos(\theta))}
Nuevas ecuaciones de movimiento
Operamos de nuevo para obtener las ecuaciones de movimiento.
Para la coordenada ϕ
Calculamos el momento conjugado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_\phi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}= \frac{mb^2}{6}(8\dot{\phi}+2(\dot{\phi}+\dot{\theta})+(2\dot{\phi}+\dot{\theta})\cos(\theta))}
Obsérvese que no tiene el mismo valor que con la elección inicial de coordenadas. Si agrupamos términos y abreviamos el coseno como C
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_\phi=\frac{mb^2}{6}((10+6C)\dot{\phi}+(2+3C)\dot{\theta})}
La derivada temporal del momento conjugado vale ahora
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{p}_\phi=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)=\frac{mb^2}{6}((10+6C)\ddot{\phi}-6S\dot{\theta}\dot{\phi}+(2+3C)\ddot{\theta}-3S\dot{\theta}^2)}
Por otro lado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0}
con lo que la ecuación de movimiento, simplificada, es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (10+6C)\ddot{\phi}-6S\dot{\theta}\dot{\phi}+(2+3C)\ddot{\theta}-3S\dot{\theta}^2=0}
Para la coordenada θ
La ecuación para esta coordenada es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}=0}
El momento conjugado de esta coordenada vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_\theta=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}= \frac{mb^2}{6}(2(\dot{\phi}+\dot{\theta})+3\dot{\phi}\cos(\theta))}
Agrupamos y abreviamos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_\theta= \frac{mb^2}{6}((2+3C)\dot{\phi}+2\dot{\theta})}
Derivamos respecto al tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{p}_\theta=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)= \frac{mb^2}{6}((2+3C)\ddot{\phi}-3S\dot{\theta}\dot{\phi}+2\ddot{\theta})}
Por otro lado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}=-\frac{mb^2}{6}(3\dot{\phi}^2S+3\dot{\phi}\dot{\theta}S)}
Sustituimos en la ecuación de Lagrange correspondiente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}= \frac{mb^2}{6}((2+3C)\ddot{\phi}-3S\dot{\theta}\dot{\phi}+2\ddot{\theta}+3\dot{\phi}^2S+3\dot{\phi}\dot{\theta}S)=0}
que, simplificada, queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2+3C)\ddot{\phi}+2\ddot{\theta}+3\dot{\phi}^2S=0}
Constantes de movimiento
Asociada a ϕ
En la segunda forma de la lagrangiana que hemos escrito, la coordenada ϕ es ciclica, esto es, no aparece explícitamente en la lagrangiana
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0}
lo cual implica, por la ecuación de Lagrange, que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right) = 0}
y por tanto el momento conjugado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_\phi=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\right)=\frac{mb^2}{6}((10+6C)\dot{\phi}+(2+3C)\dot{\theta})}
es una constante de movimiento.
Esta cantidad está asociada a la invariancia del sistema ante una rotación, es decir, que si giramos todo el sistema un cierto ángulo Δϕ el sistema no se ve modificado.
En términos de las magnitudes vectoriales, esta constante representa la componente z del momento cinético del sistema respecto al origen O.
Independencia del tiempo
Por otro lado, la lagrangiana tampoco depende explícitamente del tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial t}=0}
lo cual implica que la función hamiltoniana
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{H}=\dot{\phi}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}+\dot{\theta}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}-\mathcal{L}}
es otra constante de movimiento.
Dado que la energía cinética es una función cuadrática de las velocidades, esta cantidad coincide con la energía mecánica del sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{H}=E=T+U}
Como además la energía potencial es nula, se deduce que la energía cinética
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=\frac{mb^2}{6}(4\dot{\phi}^2+(\dot{\phi}+\dot{\theta})^2+3\dot{\phi}(\dot{\phi}+\dot{\theta})\cos(\theta))}
es otra constante en este problema.
Reducción del sistema
La constancia asociada a ϕ permite expresar las derivadas de esta variable en función de cantidades constantes. La velocidad generalizada vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}=\frac{8p_\phi}{mb^2(10+6C)}-\frac{(2+3C)}{(10+6C)}\dot{\theta}}
y la aceleración generalizada, derivando esta ecuación,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\phi}=\frac{48p_\phi}{mb^2}\frac{S\dot{\theta}}{(10+6C)^2}+\frac{9 S}{2 (5 + 3C)^2}\dot{\theta}^2-\frac{(2+3C)}{(10+6C)}\ddot{\theta}}
Podemos llevar estas dos expresiones a la ecuación de movimiento para θ
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2+3C)\ddot{\phi}+2\ddot{\theta}+3\dot{\phi}^2S=0}
Resulta, tras un laborioso cálculo realizado con ayuda de Mathematica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=\frac{3S((6p_\phi/mb^2)^2 +3 (2 + 3 C) (8 + 3 C))}{2 (-4 + 3 C) (4 + 3 C) (5 + 3 C)}}
Este resultado ilustra que no siempre la obtención de una constante de movimiento produce un resultado más sencillo.
Podemos aprovechar también la conservación de la energía sustituyendo directamente el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}}
en esta constante. En ese caso sí llegamos a una ecuación más sencilla
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}^2=-\frac{120E + 72 C E - b^2 m P^2}{mb^2 (-4 + 3 C) (4 + 3 C)}}
Lagrangiana con varilla rotatoria
En el caso de que la varilla 2 tenga una rotación fijada nos vincula la coordenada ϕ
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi=\Omega t\qquad\qquad \dot{\phi}=\Omega}
Obtenemos la nueva lagrangiana por simple sustitución
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=\frac{mb^2}{6}(4\Omega^2+(\Omega+\dot{\theta})^2+3\Omega(\Omega+\dot{\theta})\cos(\theta))=\frac{mb^2}{6}(\dot{\theta}^2+ \Omega(2+3C) \dot{\theta} + \Omega^2(5+3C))}
Obsérvese que ahora tenemos un solo grado de libertad, el del ángulo θ
Ecuación con varilla rotatoria
Obtenemos la ecuación de movimiento de la forma habitual.
Primero hallamos el momento conjugado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_\theta=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=\frac{mb^2}{6}(2\dot{\theta}+\Omega(2+3C))}
Derivamos respecto al tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{p}_\theta=\frac{mb^2}{6}(2\ddot{\theta}-3\dot{\theta}\Omega S)}
Por otro lado tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}=\frac{mb^2}{6}( -3\Omega S\dot{\theta} -3 \Omega^2 S)}
Lo cual nos da la ecuación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{mb^2}{6}(2\ddot{\theta}-3\dot{\theta}\Omega S)-\frac{mb^2}{6}( -3\Omega S\dot{\theta} -3 \Omega^2 S)=0}
que simplificada nos queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}=-\frac{3}{2}\Omega^2 \mathrm{sen}(\theta)}
Vemos que, aunque en la lagrangiana nos hemos limitado a sustituir, resulta una ecuación completamente diferente al caso anterior.
En este caso hemos obtenido que verifica la misma ecuación que un péndulo, es decir, que la barra 3 realiza un movimiento oscilatorio (o de rotación) alrededor de la articulación A.
Magnitud conservada
La lagrangiana sigue siendo independiente del tiempo, por lo que la función hamiltoniana es una constante de movimiento. No obstante, su expresión no es la misma que cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}}
no estaba fijada.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{H}=\dot{\theta}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}-\mathcal{L}}
y resulta
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{H}=\frac{m b^2}{6}(\dot{\theta}^2-\Omega^2(5+3C))}
Esta cantidad no coincide con la energía mecánica del sistema (que en este caso sería igual a la propia lagrangiana). La razón es que ahora la energía cinética no es una función cuadrática de la velocidad, sino que es de la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=T_2+T_1+T_0 \qquad T_2=\frac{mb^2}{6}\dot{\theta}^2\qquad T_1=\frac{mb^2}{6}\Omega(2+3C) \dot{\theta}\qquad T_0=\frac{mb^2}{6}\Omega^2(5+3C)}
Cuando la lagrangiana es de esta forma, la cantidad coinservada es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{H}=T_2-T_0+U\,}
