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Disco rodando en cavidad con muelle de torsión MR Dic 2016/17

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un disco de radio R y masa m (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie circular cóncava (sólido "1") de radio 3R. En el centro del disco se articula una barra (sólido "0") de masa despreciable y longitud 2R. El otro extremo de la barra se articula en un punto fijo O. La barra está conectada a su vez a un resorte de torsión en el punto O. Este resorte ejerce un momento sobre la barra, perpendicular al plano de la figura, de modo que la energía potencial asociada a él se puede expresar como Uk = kφ2, siendo k una constante.

  1. Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Cuál es la relación entre \dot{\phi} y \dot{\psi}?.
  2. Calcula la energía cinética del disco y su energía potencial.
  3. Escribe la Lagrangiana del sistema y la ecuación diferencial que rige el movimento. Si el ángulo φ es pequeño, demuestra que el movimiento es armónico simple y encuentra el período de oscilación.
  4. Estando el disco en reposo y con φ = 0, se aplica al centro del disco una percusión \hat{\vec{F}} = \hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0. Encuentra la velocidad del centro del disco después de la percusión así como el valor mínimo de esta para que el centro del disco llegue hasta el eje OY1.

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

2.1.1 Movimiento {01}

Tenemos


\vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_1,
\qquad\qquad
\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}.

Calculamos también la velocidad del centro de masas


\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}= 
2R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_0.

Hemos usado que


\overrightarrow{OG} = 2R\,\vec{\imath}_0.

2.1.2 Movimiento {20}

Del dibujo vemos


\vec{\omega}_{20} = -\dot{\psi}\,\vec{k}_1,
\qquad\qquad
\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.

2.1.3 Movimiento {21}

Usando la composición {21} = {20} + {01} tenemos


\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = (\dot{\phi}-\dot{\psi})\,\vec{k}_1,
\\
\\
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01} = 2R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}

La relación entre las derivadas de los ángulos se obtiene imponiendo que, al ser una rodadura sin deslizamiento, se cumple


\vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{0}.

Tenemos


\vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GD} 
=
(2R\dot{\phi} +(\dot{\phi}-\dot{\psi})R)\,\vec{\jmath}_0 = \vec{0}
\Longrightarrow
\dot{\psi} = 3\dot{\phi}.

2.2 Energía cinética y potencial del disco

Al ser un movimiento plano la energía cinética es


T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I|\vec{\omega}_{21}|^2 =
3mR^2\dot{\phi}^2.

El momento de inercia del disco es I = mR2 / 2.

Tenemos energía potencial gravitatoria y elástica. Para la gravitatoria elegimos como referencia la línea y1 = 0, por tanto

Ug = − 2mgRcosφ.

El enunciado nos da la energía potencial elástica del muelle de torsión

Uk = kφ2

Entonces la energía potencial total es

U = Ug + Uk = kφ2 − 2mgRcosφ.

La energía mecánica es


E = T + U = 3mR^2\dot{\phi}^2 + k\phi^2 - 2mgR\cos\phi.

2.3 Lagrangiana y ecuación de movimiento

La función de Lagrange es


L = T - U =  3mR^2\dot{\phi}^2 - k\phi^2 + 2mgR\cos\phi.

La ecuación de movimiento es


\dfrac{\mathrm{d}\,}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial\phi} = 0

Haciendo las derivadas obtenemos


3mR^2\ddot{\phi} + mgR\mathrm{sen}\,\phi + k\phi = 0.

Para ángulos pequeños podemos sustituir el seno por el primer término del desarrollo de Taylor


\mathrm{sen}\,\phi = \phi + O(\phi^3),

y podemos escribir la ecuación diferencial como


\ddot{\phi} = - \dfrac{mgR+k}{3mR^2}\,\phi.

Esta es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico con frecuencia angular \omega = \sqrt{(mgR+k)/3mR^2} y período


T_{\omega} = \dfrac{2\pi}{\omega} = 
2\pi\sqrt{\dfrac{3mR^2}{mgR+k}}.

2.4 Percusión

La ecuación de Lagrange percusiva es


\Delta p_{\phi} = \hat{Q}_{\phi}

El momento generalizado es


p_{\phi} = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}} = 6mR^2\dot{\phi}

y por tanto


\Delta p_{\phi} = 6mR^2(\phi(0^+) -\phi(0^-)) = 6mR^2\dot{\phi}(0^+).

Para la percusión generalizada tenemos


\hat{Q}_{\phi} = \hat{\vec{F}}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,G}_{21}}{\partial\dot{\phi}}
=
\left(\hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0\right)\cdot\left(2R\,\vec{\jmath}_1\right) = 
2\hat{F}_0R\,\vec{\jmath}_0\cdot\vec{\jmath}_1.

Ahora bien, en el instante inicial φ(0) = 0, los ejes OY1 y OY0 coinciden y se tiene \vec{\jmath}_1(0) = \vec{\jmath}_0(0). Por tanto


\hat{Q}_{\phi} =
2\hat{F}_0R.

Por tanto la velocidad generalizada después de la percusión es


\dot{\phi}(0^+) = \dfrac{\hat{F}_0}{3mR}.

Durante la percusión φ = 0. Así pues, la energía mecánica justo después de la percusión es


E(0^+) = \dfrac{\hat{F}^2_0}{3m} - 2mgR

Para que el disco llegue arriba (φ = π / 2) con velocidad del centro de masas la energía mecánica final debe ser


E = k\dfrac{\pi^2}{4}.

Por tanto la condición es


\hat{F}_0 \geq \sqrt{3m\,\left(2mgR + \dfrac{\pi^2}{4}k\right)}.

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