Disco rodando sobre plataforma con muelle (Ene 2018 MR)

Enunciado

Un disco de masa $m$ y radio $R$ (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una placa rectangular de masa $m$ (sólido "0"). La placa desliza sin rozamiento sobre el eje fijo $O_{1}X_{1}$. Un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula conecta la placa con el eje $O_{1}Y_{1}$.

1. Encuentra la reducción cinemática del movimiento absoluto.
2. Escribe la Lagrangiana del sistema.
3. Escribe las ecuaciones de Lagrange.
4. En el estado inicial los dos sólidos están en reposo y $x_{0}(0)=0$, $x_{2}(0)=L/2$. Se somete la placa a una percusión ${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$ aplicada en su extremo izquierdo. ¿Cuánto valen las velocidades generalizadas inmediatamente después de la percusión? ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones de la placa en el movimiento después de la percusión?

Solución

Reducción cinemática

Movimiento {01}

La placa realiza una traslación. Tenemos

${\vec {\omega }}_{01}={\vec {0}},\qquad {\vec {v}}_{01}={\dot {x}}_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Movimiento {20}

El disco rueda sin deslizar sobre la placa. Tenemos

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,G}={\dot {x}}_{2}\,{\vec {\imath }}_{1},\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}.$

Aplicando el Teorema de Chasles entre los puntos $G$ y $A$ tenemos

${\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AG}}=(\omega _{20}\,{\vec {k}})\times (R\,{\vec {\jmath }}_{1})=-R\omega _{20}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Comparando obtenemos

${\vec {\omega }}_{20}=-{\dfrac {{\dot {x}}_{2}}{R}}\,{\vec {k}}.$

Movimiento {21}

Usamos la composición {21} = {20} + {01}. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=-{\dfrac {{\dot {x}}_{2}}{R}}\,{\vec {k}},\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {v}}_{20}^{\,G}+{\vec {v}}_{01}^{\,G}=({\dot {x}}_{0}+{\dot {x}}_{2})\,{\vec {\imath }}_{1}.\end{array}}$

Vemos que el sistema tiene dos grados de libertad, elegidos aquí como $\{x_{0},x_{2}\}$.

Lagrangiana

Energía cinética

La placa hace una traslación, por lo que su energía cinética es

$T_{0}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{01}|^{2}={\dfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{0}^{2}.$

Como hace un movimiento plano, la energía cinética del disco es

$T_{2}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}I_{G}|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}.$

El momento de inercia es $I_{G}=mR^{2}/2$. Entonces

$T_{2}={\dfrac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{0}+{\dot {x}}_{2}\right)^{2}+{\dfrac {1}{4}}m{\dot {x}}_{2}^{2}.$

Entonces la energía cinética total es

$T=T_{0}+T_{2}=m{\dot {x}}_{0}^{2}+m{\dot {x}}_{0}{\dot {x}}_{2}+{\dfrac {3}{4}}m{\dot {x}}_{2}^{2}.$

Energía pontencial

Los centros de masas de los dos sólidos están siempre a la misma altura. Entonces su energía potencial gravitatoria es constante y no interviene en la dinámica del problema. El muelle aporta una energía potencial elástica

$U={\dfrac {1}{2}}kx_{0}^{2}.$

Función de Lagrange

Con esto, la función de Lagrange es

$L=T-U=m{\dot {x}}_{0}^{2}+m{\dot {x}}_{0}{\dot {x}}_{2}+{\dfrac {3}{4}}m{\dot {x}}_{2}^{2}-{\dfrac {1}{2}}kx_{0}^{2}.$

Ecuaciones de Lagrange

Ecuación para $x_{0}$

Tenemos

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{0}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial x_{0}}}=0\Longrightarrow m{\ddot {x}}_{2}+2m{\ddot {x}}_{0}+kx_{0}=0.\quad (1)$

Ecuación para $x_{2}$

Tenemos

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{2}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial x_{2}}}=0\Longrightarrow m{\ddot {x}}_{0}+{\dfrac {3}{2}}m{\ddot {x}}_{2}=0.\quad (2)$

Percusión

Las ecuaciones de Lagrange percusivas son

$\Delta p_{x_{0}}={\hat {Q}}_{x_{0}},\qquad \Delta p_{x_{2}}={\hat {Q}}_{x_{2}}$

Los momentos generalizados son

${\begin{array}{l}p_{x_{0}}={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{0}}}=2m{\dot {x}}_{0}+m{\dot {x}}_{2},\\\\p_{x_{2}}={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{2}}}=m{\dot {x}}_{0}+{\dfrac {3}{2}}m{\dot {x}}_{2}.\end{array}}$

Sus variaciones son

${\begin{array}{l}\Delta p_{x_{0}}=2m\Delta {\dot {x}}_{0}+m\Delta {\dot {x}}_{2}=2m{\dot {x}}_{0}^{+}+m{\dot {x}}_{2}^{+},\\\\\Delta p_{x_{2}}=m\Delta {\dot {x}}_{0}+{\dfrac {3}{2}}m\Delta {\dot {x}}_{2}=m{\dot {x}}_{0}^{+}+{\dfrac {3}{2}}m{\dot {x}}_{2}^{+}.\end{array}}$

Hemos usado que los dos sólidos estaban en reposo antes de la percusión.

La percusión se placa en el lado izquierdo de la placa. Tenemos

${\begin{array}{l}{\hat {Q}}_{x_{0}}={\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{01}}{\partial {\dot {x}}_{0}}}={\hat {F}}_{0},\\\\{\hat {Q}}_{x_{2}}={\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{01}}{\partial {\dot {x}}_{2}}}=0.\end{array}}$

Despejando llegamos a

${\dot {x}}_{0}^{+}={\dfrac {3{\hat {F}}_{0}}{4m}},\qquad {\dot {x}}_{2}^{+}=-{\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{2m}}.$

A pesar de ese signo negativo, el movimiento absoluto del centro del justo después de la percusión es hacia la derecha (suponiendo ${\hat {F}}_{0}>0$)

${\vec {v}}_{21}^{\,G+}=({\dot {x}}_{0}^{+}+{\dot {x}}_{2}^{+})\,{\vec {\imath }}_{1}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{4m}}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Después de la percusión el movimiento está controlado por las ecuaciones (1) y (2). Podemos despejar ${\ddot {x}}_{2}$ de (2) para obtener

${\ddot {x}}_{0}=-{\dfrac {3k}{4m}}\,x_{0}.$

Esta es la ecuación de un movimiento armónico simple de frecuencia angular

$w={\sqrt {\dfrac {3k}{4m}}}.$