Dos rodillos unidos por un resorte (CMR)

Enunciado

Se tiene un sistema de dos rodillos (“2” y “3”) de la misma masa m y el mismo radio R, situados sobre una superficie horizontal (sólido 1), sobre la que pueden rodar sin deslizar. Los dos rodillos no son idénticos. El “2” es un cilindro macizo homogéneo ($\gamma =1/2$), mientras que el “3” tiene su masa concentrada en la superficie cilíndrica ($\gamma =1$). Los dos rodillos están conectados por un resorte de constante k y longitud natural $\ell _{0}$. Todo el sistema está sometido a la acción del peso.

Estando en reposo en una posición de equilibrio, se sujeta el cilindro 2 y se desplaza el 3 una cierta distancia A, manteniéndolos en reposo. Entonces se sueltan los dos.

1. Halle la lagrangiana de este sistema, empleando como coordenadas generalizadas las posiciones $x_{2}$ y $x_{3}$ de las centros de los rodillos, medidas respecto a un sistema fijo.
2. Halle las ecuaciones de movimiento para las posiciones de los centros de los rodillos, esto es, halle ${\ddot {x}}_{2}$ y ${\ddot {x}}_{3}$ en función de las posiciones $x_{2}$ y $x_{3}$.

Si en lugar de $x_{2}$ y $x_{3}$ se emplean como coordenadas $x_{2}$ y $x$, definida x como la longitud del resorte menos su longitud en el equilibrio

3. ¿Cómo queda la lagrangiana en función de $x_{2}$ y $x$?
4. ¿Y las ecuaciones de movimiento para estas coordenadas?
5. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación del resorte?
6. ¿Y la posición de cada masa como función del tiempo?
7. ¿Qué constantes de movimiento existen en este problema?

Lagrangiana

Para cada rodillo

$T={\frac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{G}|^{2}+{\frac {1}{2}}I|{\vec {\omega }}|^{2}={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}(\gamma mR^{2})\left(-{\frac {\dot {x}}{R}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}(1+\gamma )m{\dot {x}}^{2}$

por lo que la energía cinética total es

$T={\frac {3}{4}}m{\dot {x}}_{2}^{2}+m{\dot {x}}_{3}^{2}$

La energía potencial es la de un resorte

$U={\frac {1}{2}}k(x_{3}-x_{2}-\ell _{0})^{2}$

y la lagrangiana

${\mathcal {L}}={\frac {m}{4}}(3{\dot {x}}_{2}^{2}+4{\dot {x}}_{3}^{2})-{\frac {k}{2}}(x_{3}-x_{2}-\ell _{0})^{2}$

Ecuaciones de movimiento

Aplicando las ecuaciones de Lagrange

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {q}_{k}}}=0$

queda

${\begin{array}{rcl}{\dfrac {3}{2}}m{\ddot {x}}_{2}-k(x_{3}-x_{2}-\ell _{0})&=&0\\&&\\2m{\ddot {x}}_{3}+k(x_{3}-x_{2}-\ell _{0})&=&0\end{array}}$

y, despejando,

${\begin{array}{rcl}{\ddot {x}}_{2}&=&{\dfrac {2k}{3m}}(x_{3}-x_{2}-\ell _{0})\\&&\\{\ddot {x}}_{3}&=&-{\dfrac {k}{2m}}(x_{3}-x_{2}-\ell _{0})\end{array}}$

Nueva lagrangiana

Con el cambio de variable

$\left\{{\begin{array}{rcl}x_{2}&=&x_{2}\\x_{3}&=&x_{2}+\ell _{0}+x\end{array}}\right.\qquad \Rightarrow \qquad \left\{{\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{2}&=&{\dot {x}}_{2}\\{\dot {x}}_{3}&=&{\dot {x}}_{2}+{\dot {x}}\end{array}}\right.$

queda

${\mathcal {L}}={\frac {m}{4}}(3{\dot {x}}_{2}^{2}+4({\dot {x}}_{2}+{\dot {x}})^{2})-{\frac {k}{2}}x^{2}$

Nuevas ecuaciones de movimiento

Aplicando de nuevo las ecuaciones de Lagrange

${\begin{array}{rcl}{\dfrac {1}{2}}m(7{\ddot {x}}_{2}+4{\ddot {x}})&=&0\\&&\\2m({\ddot {x}}_{2}+{\ddot {x}})+kx&=&0\end{array}}$

Resolviendo el sistema de ecuaciones para las aceleraciones

${\begin{array}{rcl}{\ddot {x}}_{2}&=&{\dfrac {2k}{3m}}x\\&&\\{\ddot {x}}&=&-{\dfrac {7k}{6m}}x\end{array}}$

Frecuencia de oscilación

La ecuación para x es la de un oscilador armónico de frecuencia

$\omega ={\sqrt {\frac {7k}{6m}}}$

Posiciones de las masas

Las posiciones iniciales son, del enunciado,

$x_{20}=0\qquad \qquad x_{0}=A$

por lo que la solucín para la elongación del muelle es

$x=A\cos(\omega t)\,$

y de aquí sale para $x_{2}$

${\ddot {x}}_{2}={\frac {2k}{3m}}A\cos(\omega t)$

Integrando dos veces y aplicando la condición inicial

$x={\frac {4A}{7}}(1-\cos(\omega t))$

Constantes de movimiento

En este sistema tenemos dos constantes de movimiento.

• El momento conjugado a la variable $x_{2}$ que es cíclica

$p_{2}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{2}}}={\frac {7}{2}}m{\dot {x}}_{2}+2m{\dot {x}}$

Esta cantidad es similar a la cantidad de movimiento del sistema, pero no lo es.

• La hamiltoniana, pues la lagrangiana no depende del tiempo. En este caso, la hamiltoniana coincide con la energía mecánica

${\mathcal {H}}={\frac {m}{4}}(3{\dot {x}}_{2}^{2}+4({\dot {x}}_{2}+{\dot {x}})^{2})+{\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m}{4}}(3{\dot {x}}_{2}^{2}+4{\dot {x}}_{3}^{2})+{\frac {k}{2}}(x_{3}-x_{2}-\ell _{0})^{2}$