Enunciado
Considerando el sistema de dos barras articuladas del problema “dos barras articuladas” suponga que el sistema se halla completamente extendido y en reposo. Entonces, se efectúa una percusión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_0}
perpendicular a la dirección de las barras y a una distancia c de la articulación A entre las dos barras.
Determine la velocidad angular de cada barra, así como la velocidad de los puntos A y B (extremo libre de la segunda barra) en los casos:
- Se golpea la barra OA en un punto D a una distancia c de la articulación A.
- Se golpea la barra AB en un punto D a una distancia c de la articulación A.
Introducción
La ecuación básica que gobierna un sistema sometida a percusiones es la de Lagrange
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k}\right)=\hat{Q}_k}
suponiendo coordenadas independientes y siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{Q}_k}
la percusión generalizada
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{Q}_k=\sum_i P_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k}=\sum_i P_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k}}
donde las Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_i}
son las coordenadas del punto donde se aplica la percusión.
En nuestro caso el sistema tiene dos grados de libertad, que podemos describir con el ángulo ϕ que la varilla OA forma con el eje OX y el ψ que la varilla AB forma con el mismo eje.
En este caso, podemos emplear la energía cinética para el sistema de dos varillas que se describe en el problema citado:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=\frac{mb^2}{6}(4\dot{\phi}^2+\dot{\psi}^2+3\dot{\phi}\dot{\psi}\cos(\psi-\phi))}
Sin embargo, tal como se ve en dicho problema, la deducción es un tanto laboriosa y requiere emplear diferentes base vectoriales.
En el caso de una percusión, el cálculo puede simplificarse sustituyendo las coordenadas por los valores que tienen en el momento de la percusión, ya que
- durante una percusión, el intervalo es tan corto que no da tiempo a que cambien las coordenadas.
- las derivadas que hay que calcular son respecto a las velocidades, con lo que se pueden tratar las coordenadas como constantes.
Teniendo esto en cuenta, hallamos las velocidades instantáneas de los puntos A y B respecto a un sistema fijo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{31}=\dot{\phi}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}=b\dot{\phi}\vec{\jmath}}
y
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Obsérvese que no hace falta distinguir qué base vectorial estamos empleando ya que todas son coincidentes en ese momento.
La energía cinética en ese instante es entonces, aplicando la expresión para la energía cinética de una varilla
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=\frac{m}{6}|\vec{v}^A_{21}|^2+\frac{m}{6}\left(|\vec{v}^A_{31}|^2+|\vec{v}^B_{31}|^2+\vec{v}^A_{31}\cdot\vec{v}^B_{31}\right)}
Sustituimos las expresiones anteriores y queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=\frac{mb^2}{6}\left(\dot{\phi}^2+\dot{\phi}^2+(\dot{\phi}+\dot{\psi})^2+\dot{\phi}(\dot{\phi}+\dot{\psi})\right)=\frac{mb^2}{6}\left(4\dot{\phi}^2+\dot{\psi}^2+3\dot{\phi}\dot{\psi}\right)}
Este es el mismo resultado al que se llega haciendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\psi-\phi)=1}
en la expresión general, pero el proceso es más simple.
Derivamos ahora respecto a cada velocidad generalizada y queda para ϕ
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y para ψ
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \left(\frac{mb^2}{6}(3\dot{\phi}+2\dot{\psi})\right)=\hat{Q}_\phi}
Dado que las velocidades iniciales son nulas, llegamos al sistema
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rcl} 8\dot{\phi}^++3\dot{\psi}^+ &=& \dfrac{6}{mb^2}\hat{Q}_\phi \\ &&\\ 3\dot{\phi}^++2\dot{\psi}^+ &=& \dfrac{6}{mb^2}\hat{Q}_\psi \end{array}}
con solución
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}^+=\frac{6}{7mb^2}(2\hat{Q}_\phi-3\hat{Q}_\psi)\qquad\qquad \dot{\psi}^+=\frac{6}{7mb^2}(-3\hat{Q}_\phi+8\hat{Q}_\psi)}
Las velocidades de los puntos A y B, dadas estas velocidades angulares, valen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\frac{6}{7mb}(2\hat{Q}_\phi-3\hat{Q}_\psi)\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}^B_{31}=\frac{6}{7mb}(-\hat{Q}_\phi+5\hat{Q}_\psi)\vec{\jmath}}
Se trata entonces de hallar las percusiones generalizadas en cada uno de los dos casos considerados.
Percusión en OA
La percusión ocurre en un punto D de las barras. Al ser su dirección perpendicular a las barras, su expresión vectorial es
esto es, solo tiene componente y. Por ello, las percusiones generalizadas se reducen ahora
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Si D está en la barra OA, a una distancia c de A, su velocidad instantánea es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^D_{21}=\dot{x}_D\vec{\imath}+\dot{y}_D\vec{\jmath}=(b-c)\dot{\phi}\vec{\jmath}\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}\dot{x}_D & = & 0 \\ \dot{y}_D&=&(b-c)\dot{\phi}\end{array}\right.}
lo cual nos da las derivadas
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por lo que los impulsos generalizados valen en este caso
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y las velocidades angulares, justo tras la percusión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}^+=\frac{12(b-c)}{7mb^2}P_0\qquad\qquad \dot{\psi}^+=-\frac{18(b-c)}{7mb^2}P_0}
La diferencia de signos implica que la barra AB gira en sentido horario, mientras la OA lo hace en sentido antihorario, empujada por la percusión.
Las velocidades de los puntos A y B valen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{21}=\frac{12(b-c)}{7mb}P_0\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{v}^B_{31}=-\frac{6(c-b)}{7mb}P_0\vec{\jmath}}
Percusión en AB
Si el punto D está en la barra AB su velocidad es
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siendo las derivadas parciales
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las percusiones generalizadas
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y las velocidades angulares tras la percusión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}^+=\frac{6(2b-3c)}{7mb^2}P_0\qquad\qquad \dot{\psi}^+=\frac{6(-3b+8c)}{7mb^2}P_0}
En cuanto a signos, ahora tenemos las siguientes posibilidades
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 < c < 3b/8}
. La barra OA comienza a girar en sentido antihorario y AB en sentido horario, como en el caso anterior.
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3b/8 < c < 2b/3}
. Las dos barras comienzan a girar en sentido antihorario.
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c > 2b/3}
la barra OA comienza a girar en sentido horario y AB en sentido antihorario.
Las velocidades de los puntos A y B valen ahora
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Esto nos da un nuevo caso de interés. Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c = b/5}
e extremo B permanece en reposo instantáneo. Si es mayor comienza a moverse en el sentido de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\vec{\jmath}}
y si es menor en sentido opuesto.
