Engranaje sobre cremallera (MR G.I.C.)

Enunciado

La figura muestra un sistema mecánico formado por un engranaje que rueda sobre una cremallera y está conectado a un deslizador con una ranura que desliza respecto al pasador en $B$. El deslizador está acoplado a un muelle, de constante elástica $k$, que se encuentra relajado cuando $x=2R$. En ese instante se tiene $\theta =0$. Las masas del engranaje, el deslizador y la cremallera son la misma e igual a $m$. El radio de giro del engranaje es $r_{c}$. El contacto entre el pasador y la ranura es liso. El mecanismo es accionado por una fuerza aplicada sobe la cremallera como se indica en la figura.

1. Encuentra el número de grados de libertad y elige un conjunto de coordenadas generalizadas para describir el movimiento.
2. Encuentra las ecuaciones diferenciales del movimiento.

Solución

Grados de libertad

En el dibujo se identifican tres coordenadas: $x_{r}$, $x$ y $\theta$. Sin embargo el problema tiene sólo dos grados de libertad. Podemos verlo a partir del número de ligaduras que se imponen entre los sólidos. Tenemos tres sólidos haciendo un movimiento plano, luego a priori hay 9 grados de libertad, 3 por cada sólido. Las ligaduras son

1. {01}: traslación: 2 ligaduras.
2. {31}: traslación: 2 ligaduras.
3. {20}: rodadura sin deslizamiento en $C$: 2 ligaduras.
4. {32}: ${\vec {v}}_{23}^{\,B}$ debe ser paralela a $Y_{1}$: 1 ligadura.

Esto hace en total 7 ligaduras. Por tanto el número de grados de libertad es

$r=9-7=2.$

Relación entre las coordenadas

Vamos a obtener las reducciones cinemáticas de los movimientos relativos para encontrar la relación entre las ligaduras.

Movimiento {01}

Es la traslación de la cremallera respecto al suelo

${\vec {\omega }}_{01}={\vec {0}}\,\qquad \qquad {\vec {v}}_{01}={\dot {x}}_{r}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Al ser una traslación no hay que especificar el punto en la velocidad.

Movimiento {31}

También es una traslación respecto al suelo

${\vec {\omega }}_{31}={\vec {0}}\,\qquad \qquad {\vec {v}}_{31}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}.$

Movimiento {20}

Es una rodadura sin deslizamiento en $C$

${\vec {\omega }}_{20}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1},\qquad \qquad {\vec {v}}_{20}^{\,C}={\vec {0}}.$

Movimiento {23}

Este es el movimiento que nos va a dar la relación que buscamos. La ligadura es

${\vec {v}}_{23}^{\,B}\parallel {\vec {\jmath }}_{1}.$

Usando composición de movimientos tenemos

${\vec {v}}_{23}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,B}+{\vec {v}}_{13}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,B}+{\vec {v}}_{01}^{\,B}-{\vec {v}}_{31}^{\,B}.$

Para cada movimiento tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{01}^{\,B}={\vec {v}}_{01}={\dot {x}}_{r}\,{\vec {\imath }}_{1},\\\\{\vec {v}}_{31}^{\,B}={\vec {v}}_{31}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1},\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,B}={\vec {v}}_{20}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {CB}}=(-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1})\times \left(r\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+(R+r\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\right)={\dot {\theta }}\,(R+r\cos \theta )\,{\vec {\imath }}_{1}-r{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Entonces

${\vec {v}}_{23}^{\,B}=({\dot {x}}_{r}-{\dot {x}}+{\dot {\theta }}\,(R+r\cos \theta ))\,{\vec {\imath }}_{1}-r{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}.$

La componente en ${\vec {\imath }}_{1}$ tiene que ser cero. Por tanto

${\dot {x}}_{r}={\dot {x}}-{\dot {\theta }}\,(R+r\cos \theta ).$

Ecuaciones de movimiento

Escogemos el conjunto de coordenadas generalizadas ${x,\,\theta }$. El motivo la coordenada $x_{r}$ no aparece en la energía potencial.

Energía cinética

Cremallera

Es una traslación pura. Tenemos

$T_{0}={\dfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{r}^{2}={\dfrac {1}{2}}m({\dot {x}}-{\dot {\theta }}\,(R+r\cos \theta )).$

Deslizador

También es una traslación pura. Entonces

$T_{3}={\dfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}.$

Disco

Pasamos por el centro de masas

$T_{2}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,A}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}I|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}.$

La velocidad del centro es

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,A}&={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {v}}_{01}^{\,A},\\&{\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {v}}_{20}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CA}}=R{\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{1},\\&{\vec {v}}_{01}^{\,A}={\vec {v}}_{01}={\dot {x}}_{r}\,{\vec {\imath }}_{1}.\end{array}}$

Entonces

${\vec {v}}_{21}^{\,A}=({\dot {x}}-r{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\imath }}_{1}$

El momento de inercia es

$I=mk^{2},$

donde $k$ es el radio de giro del engranaje. Entonces

$T_{2}={\dfrac {1}{2}}m\,\left(k^{2}{\dot {\theta }}^{2}+({\dot {x}}-r{\dot {\theta }}\cos \theta )^{2}\right)$

Energía cinética total

Haciendo la suma

$T=T_{0}+T_{2}+T_{3}={\dfrac {1}{2}}m\,\left(3{\dot {x}}^{2}-2(R+2r\cos \theta ){\dot {x}}{\dot {\theta }}+(k^{2}+R^{2}+2r\cos \theta (R+r\cos \theta )){\dot {\theta }}^{2}.\right)$

Energía potencial

La energía potencial gravitatoria es constante, pues los centros de masas de los tres sólidos se mueven siempre en horizontal. Podemos entonces obviar la energía potencial gravitatoria, pues al ser constante no va a contribuir en la ecuaciones de Lagrange. La única energía potencial relevante es la del muelle

$U={\dfrac {1}{2}}k\,(x-2R)^{2}.$

Lagrangiana

La función de Lagrange es

$L=T-U={\dfrac {1}{2}}m\left(3{\dot {x}}^{2}-2(R+2r\cos \theta ){\dot {x}}{\dot {\theta }}+(k^{2}+R^{2}+2r\cos \theta (R+r\cos \theta )){\dot {\theta }}^{2}\right)-{\dfrac {1}{2}}k\,(x-2R)^{2}.$

Fuerza generalizda

Hay una fuerza no conservativa, ${\vec {F}}=-F_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$, actuando sobre la cremallera que va a dar una contribución a la fuerza generalizada. Tenemos

${\begin{array}{l}Q_{x}^{NC}={\vec {F}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{01}}{\partial {\dot {x}}}}=(-F_{0}\,{\vec {\imath }}_{1})\cdot ({\vec {\imath }}_{1})=-F_{0}\\\\Q_{\theta }^{NC}={\vec {F}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{01}}{\partial {\dot {\theta }}}}=(-F_{0}\,{\vec {\imath }}_{1})\cdot (-(R+r\cos \theta )\,{\vec {\imath }}_{1})=F_{0}(R+r\cos \theta ).\end{array}}$

Ecuaciones de movimiento

Escribimos ahora las ecuaciones de Lagrange

${\begin{array}{l}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial x}}=Q_{x}^{NC},\\\\{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial \theta }}=Q_{\theta }^{NC}.\end{array}}$

Haciendo las derivadas obtenemos

${\begin{array}{l}2r{\dot {\theta }}^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta +3{\ddot {x}}-(R+2r\cos \theta ){\ddot {\theta }}=-{\dfrac {F_{0}}{m}}\\\\(k^{2}+R^{2}+2r\cos \theta \,(R+r\cos \theta )){\ddot {\theta }}-(R+2r\cos \theta )(r{\dot {\theta }}^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\ddot {x}})=-{\dfrac {F_{0}}{m}}(R+r\cos \theta )\end{array}}$