Péndulo compuesto. Análisis por mecánica analítica (CMR)

Enunciado

Para el sistema del problema “Péndulo compuesto” analice el problema general mediante las técnicas de mecánica analítica. Se tiene una barra homogénea de longitud b y masa m, articulada mediante una rótula en un extremo O y sometida a la acción de la gravedad. La barra puede tanto variar su ángulo θ con la vertical como el ángulo ϕ alrededor de OZ.

Para este sistema

1. Calcule la lagrangiana del sistema.
2. Halle las ecuaciones de movimiento para los dos ángulos de giro, θ y ϕ
3. Obtenga dos constantes de movimiento no triviales.
4. Con ayuda de las constantes de movimiento, halle una ecuación que incluya solamente a θ
5. Calcule el valor que debe tener la velocidad angular ${\dot {\phi }}$ si se desea que la barra mantenga una inclinación constante respecto a la vertical.

Lagrangiana del sistema

En este sistema no hay fuerzas no conservativas y los vínculos son geométricos (ya que el único vínculo es que el extremo O es un punto fijo). Por ello, las ecuaciones de movimiento pueden obtenerse a partir de las ecuaciones de Lagrange

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}=0$

siendo

${\mathcal {L}}=T-U$

la lagrangiana del sistema. Aquí $T=K$ es la energía cinética y U la potencial.

La energía cinética de un sólido con un punto fijo O se puede calcular como

$T={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}_{O}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\bar {\bar {I}}}\cdot {\vec {\omega }}$

Tal como se ve en el problema citado, la expresión más simple de la energía cinética se obtiene en un sistema de referencia ligado en el que el eje $OZ_{2}$ va en la dirección de la barra y los otros dos son ortogonales a éste por O. En este sistema la energía cinética tiene la expresión

$T={\frac {mb^{2}}{2}}(\omega _{X}^{2}+\omega _{Y}^{2})$

A su vez, como se ve en el mismo problema, las componentes de la velocidad angular en el sistema ligado se relacionan con las derivadas de los ángulos por

$\omega _{X}={\dot {\theta }}\qquad \qquad \Omega _{Y}={\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} (\theta )={\dot {\phi }}S$

lo que nos da la expresión para la energía cinética

$T={\frac {mb^{2}}{6}}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\theta ))$

Por su parte, la energía potencial sale de la altura del CM

$U=mgh_{G}=-mg{\frac {b}{2}}\cos(\theta )$

Por tanto la lagrangiana del sistema es

${\mathcal {L}}={\frac {mb^{2}}{6}}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\theta ))+mg{\frac {b}{2}}\cos(\theta )$

Ecuaciones de movimiento

Para el ángulo ϕ

La ecuación de Lagrange para este ángulo es

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0$

Calculamos en primer lugar el momento conjugado

$p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {mb^{2}}{3}}{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )={\frac {mb^{2}}{3}}{\dot {\phi }}\,S^{2}$

siendo su derivada temporal

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\right)={\frac {mb^{2}}{3}}({\ddot {\phi }}\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta )+2{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}\cos(\theta )\mathrm {sen} (\theta ))={\frac {mb^{2}}{3}}({\ddot {\phi }}\,S^{2}+2{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}SC)$

Por otro lado, la lagrangiana no depende explícitamente del ángulo ϕ

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0$

por lo que la ecuación de movimiento buscada es

${\frac {mb^{2}}{3}}({\ddot {\phi }}S^{2}+2{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}SC)=0$

Podemos sacar factores comunes y reducirla a

${\ddot {\phi }}S+2{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}C=0$

Para el ángulo θ

De manera análoga operamos con el otro ángulo. Su momento conjugado vale

$p_{\theta }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {mb^{2}}{3}}{\dot {\theta }}$

cuya derivada respecto al tiempo es simplemente

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\right)={\frac {mb^{2}}{3}}{\ddot {\theta }}$

En cuanto a la derivada respecto al ángulo tenemos términos en la energía cinética y en la potencial

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}={\frac {mb^{2}}{3}}{\dot {\phi }}^{2}\cos(\theta )\mathrm {sen} (\theta )-{\frac {mgb}{2}}\mathrm {sen} (\theta )={\frac {mb^{2}}{3}}{\dot {\phi }}^{2}CS-{\frac {mgb}{2}}S$

lo que nos da la ecuación de movimiento

${\frac {mb^{2}}{3}}{\ddot {\theta }}-{\frac {mb^{2}}{3}}{\dot {\phi }}^{2}SC+{\frac {mgb}{2}}S=0$

Sacando factores comunes y abreviando la expresión nos queda

${\ddot {\theta }}-{\dot {\phi }}^{2}SC+{\frac {3g}{2b}}S=0$

Esta ecuación y la anterior coinciden con las obtenidas en el problema del análisis vectorial de este sistema.

Constantes de movimiento

En este problema tenemos dos constantes de movimiento no triviales.

Coordenada cíclica

Según hemos indicado, la coordenada ϕ no aparece explícitamente en la lagrangiana

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0$

Se dice en este caso que ϕ es cíclica. en este caso, es inmediato que su momento conjugado es una constante de movimiento

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\right)=0\qquad \Rightarrow \qquad p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=\mathrm {cte.}$

siendo su expresión en este caso

$p_{\phi }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {mb^{2}}{3}}{\dot {\phi }}S^{2}=\mathrm {cte.}$

Este término coincide con la componente z del momento cinético. Su constancia está asociada a que el sistema es invariante ante una rotación en torno al eje OZ.

Independencia del tiempo

La lagrangiana de este sistema no depende del tiempo. Esto implica que la cantidad

$H={\dot {\theta }}p_{\theta }+{\dot {\phi }}p_{\phi }-{\mathcal {L}}$

es una constante de movimiento. En este caso, tras sustituir los momentos y operar llegamos a que H coincide con la energía mecánica

$H=E=T+U={\frac {mb^{2}}{6}}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}S^{2})-mg{\frac {b}{2}}C$

Ecuación para θ

Despejando la derivada respecto al tiempo en la primera constante

${\dot {\phi }}={\frac {3p_{\phi }}{mb^{2}S^{2}}}$

y sustituyendo en la ecuación de movimiento para θ obtenemos una para esta variable exclusivamente

${\ddot {\theta }}-{\frac {9p_{\phi }^{2}}{m^{2}b^{4}S^{3}}}C+{\frac {3g}{2b}}S=0$

Una manera más formal de llegar a ella es empleando la función de Routh. Aplicando que ϕ es cíclica, definimos la función

${\mathcal {R}}={\mathcal {L}}-{\dot {\phi }}p_{\phi }$

que en este caso vale

${\mathcal {L}}=\left({\frac {mb^{2}}{6}}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\frac {9\phi ^{2}}{m^{2}b^{4}S^{2}}}\right)+mg{\frac {b}{2}}C\right)-{\frac {3p_{\phi }^{2}}{mb^{2}S^{2}}}={\frac {mb^{2}}{6}}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {3p_{\phi }^{2}}{2mb^{2}S^{2}}}+mg{\frac {b}{2}}C$

Una vez definida esta función, la ecuación para θ se halla como

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {R}}}{\partial \theta }}=0$

El resultado es el mismo que ya hemos visto.

Movimiento con inclinación constante

Si se desea que la barra mantenga constante su inclinación, debe anularse la derivada ${\dot {\theta }}$, lo que nos da la condición

$-{\dot {\phi }}^{2}SC=-{\dfrac {3g}{2b}}S$

y por tanto

${\dot {\phi }}={\sqrt {\dfrac {3g}{2bC}}}$

Como el coseno vale como máximo 1, existe una velocidad angular mínima para poder conseguir una inclinación constante.