Estudio analítico de máquina de Atwood

Enunciado

Una máquina de Atwood está formada por dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ unidas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea ideal, sin rozamiento y sin masa.

1. Empleando el principio de D’Alembert halle la aceleración de cada una de las masas.
2. Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, calcule la tensión del hilo que pasa por la polea.
3. Empleando también multiplicadores, halle la fuerza que ejerce el gancho que sostiene a la polea.
4. Suponga ahora que la polea es un disco de radio $R$ con momento de inercia $I$. ¿Cómo queda en ese caso la aceleración de las masas? ¿Y las tensiones de la cuerda?

Aceleración

Las dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ están unidas por un hilo que pasa por una polea ideal (sin masa y sin rozamiento), de forma que ambas cuelgan verticalmente.

Si consideramos el eje X vertical y hacia abajo, la ecuación fundamental de la dinámica puede escribirse como

$m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)\delta x_{1}+m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)\delta x_{2}=0$

Las coordenadas están relacionadas por el vínculo

$x_{1}+x_{2}=\ell \qquad \Rightarrow \qquad \delta x_{1}+\delta x_{2}=0$

lo que llevado a la ecuación anterior nos da

$\left(m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)-m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)\right)\delta x_{1}=0$

Como $\delta x_{1}$ es arbitrario, el coeficiente debe anularse:

$m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)-m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)=0$

Por otro lado, del mismo vínculo tenemos

$a_{1}={\ddot {x}}_{1}=-{\ddot {x}}_{2}$

y por tanto

$m_{1}(a_{1}-g)-m_{2}(-a_{1}-g)=0\qquad \Rightarrow \qquad a_{1}={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g$

Tensión

Si deseamos hallar la tensión del hilo debemos desvincular la relación

$x_{1}+x_{2}=\ell \quad \Rightarrow \qquad \delta x_{1}+\delta x_{2}=0\qquad \Rightarrow \qquad F_{1}^{n}=\lambda \qquad \qquad F_{2}^{n}=\lambda$

Vemos que la tensión es la misma para las dos masas. Llevamos esto a la ecuación de D'Alembert

$(m_{1}{\ddot {x}}_{1}-m_{1}g-\lambda )\delta x_{1}+(m_{2}{\ddot {x}}_{2}-m_{2}g-\lambda )\delta x_{2}=0$

Al desaparecer el vínculo ambos diferenciales son independientes, por lo que los coeficientes deben anularse por separado

$m_{1}{\ddot {x}}_{1}-m_{1}g-\lambda =0\qquad \qquad m_{2}{\ddot {x}}_{2}-m_{2}g-\lambda =0$

Dado que ya conocemos la aceleración, de cualquiera de estas dos ecuaciones podemos hallar el multiplicador de Lagrange (el resultado, lógicamente, debe ser el mismo).

$\lambda =m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)=-{\frac {2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g$

Esta es la tensión de la cuerda que sujeta a ambas masas.

Fuerza en el soporte

Para hallar la fuerza que ejerce el gancho del que cuelga el sistema debemos desvincular esa ligadura, añadiendo el multiplicador de Lagrange correspondiente.

Para ello, añademos una nueva coordenada $x_{O}$ que representa la posición de la polea. Al introducir esta coordenada cambia el vínculo que habíamos escrito, ya que lo que es constante es la longitud del hilo, lo cual ahora se escribe

$(x_{1}-x_{O})+(x_{2}-x_{O})=\ell \qquad \Rightarrow \qquad \delta x_{1}+\delta x_{2}-2\delta x_{O}=0$

Junto a este vínculo, aparece otro, que es el que vamos a desvincular.

$x_{O}=0\qquad \Rightarrow \qquad \delta x_{O}=0$

Antes de desvincular y teniendo en cuenta que la polea la suponemos sin masa y solo está sometida a fuerzas de reacción vincular, el principio de D'Alembert se escribe

$m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)\delta x_{1}+m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)\delta x_{2}+0\cdot \delta x_{O}=0$

junto con las dos ecuaciones de vínculo

$x_{1}+x_{2}-2x_{O}=\ell \qquad \qquad x_{O}=0$

y las correspondientes relaciones entre diferenciales

$\delta x_{1}+\delta x_{2}-2\delta x_{O}=0\qquad \qquad \delta x_{O}=0$

Es evidente que sustituyendo las condiciones para $x_{O}$ recuperamos la solución anterior.

Procedemos a desvincular. Suponemos que no existe el vínculo $x_{O}=0$ (pero sí se mantiene el otro) y en su lugar aparece una fuerza de reacción de manera que ahora el principio de D'Alembert se escribe

$m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)\delta x_{1}+m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)\delta x_{2}+(-\lambda _{O})\delta x_{O}=0$

Sustituimos aquí la relación entre desplazamientos virtuales

$\delta x_{O}={\frac {\delta x_{1}+\delta x_{2}}{2}}$

y nos queda

$\left(m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)-{\frac {\lambda _{O}}{2}}\right)\delta x_{1}+\left(m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)-{\frac {\lambda _{O}}{2}}\right)\delta x_{2}=0$

Al haber quitado el vínculo, estos dos desplazamientos virtuales son independientes, por lo que cada coeficiente debe anularse por separado

$m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)-{\frac {\lambda _{O}}{2}}=0\qquad \qquad m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)-{\frac {\lambda _{O}}{2}}=0$

de donde

$\lambda _{O}=2m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)=-{\frac {4m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g$

Esta sería la fuerza que sujeta la polea en su sitio.

Polea con inercia

Aceleración

Consideramos ahora el caso de que la polea no sea ideal, sino que tenga un cierto momento de inercia que requiere un trabajo para hacerla girar, arrastrada por la cuerda. Esto nos obliga a añadir un término de rotación al principio de D'Alembert

$m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)\delta x_{1}+m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)\delta x_{2}+I{\ddot {\theta }}\delta \theta =0$

Este ángulo no es independiente de las posiciones de las masas, ya que la polea gira arrastrada por la cuerda. Por ello, además del vínculo

$x_{1}+x_{2}=\ell \qquad \Rightarrow \qquad \delta x_{1}+\delta x_{2}=0$

tenemos que añadir el

${\dot {x}}_{1}=R{\dot {\theta }}\qquad \Rightarrow \qquad \delta x_{1}-R\,\delta \theta =0$

Llevando esto al principio de D'Alembert nos queda

$m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)\delta x_{1}+m_{2}(-{\ddot {x}}_{1}-g)(-\delta x_{1})+\left(I{\frac {{\ddot {x}}_{1}}{R}}\right)\left({\frac {\delta x_{1}}{R}}\right)=0$

como $x_{1}$ es libre, debe anularse el coeficiente del desplazamiento, lo que nos da

$\left(m_{1}+m_{2}+{\frac {I}{R^{2}}}\right){\ddot {x}}_{1}-(m_{1}-m_{2})g=0$

y llegamos a la aceleración

${\ddot {x}}_{1}={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}+(I/R^{2})}}g$

Vemos que el efecto ha sido aumentar la inercia del sistema.

Tensión sobre la masa 2

Para hallar la tensión que tira de la masa 2 debemos romper el vínculo que afecta a la coordenada 2, manteniendo el otro. A cambio, hay que meter una fuerza de reacción asociada al vínculo. Esto nos deja con

$\left(m_{1}({\ddot {x}}_{1}-g)-\lambda _{2}\right)\delta x_{1}+\left(m_{2}({\ddot {x}}_{2}-g)-\lambda _{2}\right)\delta x_{2}+\left(I{\frac {{\ddot {x}}_{1}}{R}}\right)\left({\frac {\delta x_{1}}{R}}\right)=0$

Ahora $\delta x_{2}$ es independiente de $\delta x_{1}$ por lo que obtenemos las ecuaciones

$\left(m_{1}+{\frac {I}{R^{2}}}\right){\ddot {x}}_{1}=m_{1}g+\lambda _{2}\qquad \qquad m_{2}{\ddot {x}}_{2}=m_{2}g+\lambda _{2}$

De cualquiera de ellas

$\lambda _{2}=-{\frac {(I/R^{2})+2m_{1}}{m_{1}+m_{2}+(I/R^{2})}}m_{2}g$