Problemas de electrostática en el vacío (GIOI)

Carga total de una distribución

Calcule la carga total de las siguientes distribuciones de carga:

1. N cargas de valor q situadas en los vértices de un polígono regular de N lados situado en el plano XY, con centro el origen y cuyo primer vértice se encuentra en ${\vec {r}}_{1}=a{\vec {\imath }}$.
2. Un anillo circular de radio b con una densidad lineal de carga uniforme $\lambda _{0}$.
3. Un anillo circular de radio b con centro el origen y situado en el plano XY, con una densidad lineal de carga $\lambda (\theta )=\lambda _{0}\cos(\theta )$, siendo θ el ángulo del vector de posición con el eje OX.
4. Una superficie esférica de radio a con una densidad de carga uniforme $\sigma _{0}$, rodeada por una superficie esférica concéntrica de radio b con densidad de carga $-\sigma _{0}$.
5. Una esfera maciza de radio b con densidad de carga uniforme $\rho _{0}$.
6. Una esfera maciza de radio $2b$ con una densidad de carga dependiente de la distancia al centro como $\rho (r)=A(b-r)$ ($r<2b$).

Solución

Fuerza entre cargas en un triángulo

Tres cargas puntuales iguales +q se hallan en los vértices de un triángulo equilátero de lado b.

1. Calcule la fuerza eléctrica sobre cada una de ellas.
2. Suponga que se cambia una de las cargas +q por una carga −q. ¿Cuánto vale en ese caso la fuerza sobre cada una de las tres cargas?
3. Si se cambia una segunda carga +q por otra carga –q, ¿cuánto pasa a ser la fuerza sobre cada una?
4. Por último, si se sustituye la última carga +q por otra –q, ¿cuál es ahora la fuerza?

Solución

Cuatro cargas en dos varillas

Se tiene el sistema de 4 cargas de la figura, a la izquierda hay dos cargas iguales +q, unidas por una varilla rígida (sin carga). A la derecha hay otra varilla rígida, en cuyos extremos hay cargas opuestas ±q. Las cuatro cargas forman un cuadrado de lado b.

Para cada varilla, calcule la fuerza resultante y el momento resultante respecto a su centro de masas (centro de cada varilla).

Solución

Fuerzas y momentos sobre un par de cargas

Dos cargas $q_{1}=+q$ y $q_{2}=-q$ se encuentran en los extremos de una varilla que se encuentra inmersa en el campo eléctrico

${\vec {E}}=Ay{\vec {\imath }}+Bx^{2}{\vec {\jmath }}$

• Si los extremos de la varilla se encuentran en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\imath }}$ y ${\vec {r}}_{2}=-b{\vec {\imath }}$, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?
• Si los extremos de la varilla se encuentran en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\jmath }}$ y ${\vec {r}}_{2}=-b{\vec {\jmath }}$, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?

Solución

Campo de dos cargas puntuales

Se tienen dos cargas $q_{1}$ y $q_{2}$ situadas respectivamente en los puntos ${\vec {r}}_{1}=-12{\vec {\imath }}$  (cm) y ${\vec {r}}_{2}=+12{\vec {\imath }}$  (cm). Halle el campo eléctrico en los puntos ${\vec {r}}_{A}={\vec {0}}$, ${\vec {r}}_{B}=28{\vec {\imath }}$, ${\vec {r}}_{C}=9{\vec {\jmath }}$, ${\vec {r}}_{D}=-9{\vec {k}}$, ${\vec {r}}_{E}=12{\vec {\imath }}+32{\vec {\jmath }}$

(todas las distancias en cm) para los cuatro casos siguientes

1. $q_{1}=q_{2}=+1\,\mathrm {nC}$
2. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC}$, $q_{2}=-1\,\mathrm {nC}$
3. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC} ,q_{2}=+9\,\mathrm {nC}$
4. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC} ,q_{2}=-9\,\mathrm {nC}$

Solución

Anulación de campo eléctrico

Para los cuatro pares de cargas del problema anterior, localice el punto del eje OX en que se anula el campo eléctrico.

Solución

Cargas en los vértices de un cuadrado

Se tienen cuatro cargas en los vértices de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm, según ilustra la figura. Los valores de todas las cargas son +10 nC o −10 nC

1. ¿Cuánto vale aproximadamente la fuerza sobre una carga de 10 nC situada en el centro del cuadrado?
2. ¿Cuánto vale aproximadamente el trabajo para llevar la carga central hasta el infinito?
3. Suponiendo que no está la carga central, ¿cuánto vale la energía electrostática almacenada en el sistema?
4. ¿Qué trabajo hay que realizar para permutar una carga positiva por una negativa vecina?

Solución

Campo de un anillo homogéneo

Calcule, por integración directa, el campo eléctrico en los puntos del eje de un anillo de radio b que almacena una carga Q distribuida uniformemente.

Solución

Campo de un disco homogéneo

A partir del resultado del problema “Campo de un anillo homogéneo” calcule el campo en los puntos del eje de un disco circular de radio b, en el cual existe una carga Q distribuida uniformemente.

Solución

Campo de un plano infinito

Empleando el resultado del problema “Campo de un disco homogéneo”, halle el campo eléctrico en cualquier punto del espacio debido a un plano infinito cargado uniformemente con una densidad de carga $\sigma _{0}$.

Solución

Campo de dos planos paralelos

Suponga que se tienen dos planos infinitos paralelos separados una distancia b que almacenan respectivamente densidades de carga $+\sigma _{0}$ y $-\sigma _{0}$. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Solución

Campo de dos discos paralelos

Se tienen dos discos de radio 1cm y con cargas respectivas de ±12 nC situados paralelamente al plano OXY, con sus centros en $(\pm b/2){\vec {k}}$. Halle el valor aproximado del campo eléctrico en el origen de coordenadas si:

1. $b=1\mathrm {m}$.
2. $b=1\,\mathrm {mm}$.
3. $b$ tiene un valor arbitrario. Estime el error cometido en los dos apartados anteriores.

Solución

Campo eléctrico de un anillo no homogéneo

Un anillo de radio R se encuentra cargado con una densidad lineal de carga $\lambda =\lambda _{0}\cos ^{2}(\theta '/2)$. El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX).

1. ¿Cuánto vale la carga total del anillo?
2. ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo?
3. ¿Y el potencial eléctrico en el mismo punto?

Solución

Campo de un segmento

Calcule el campo eléctrico producido por un segmento rectilíneo de longitud $2a$ cargado uniformemente con una densidad de carga $\lambda _{0}$, en cualquier punto del plano perpendicular al segmento por su punto medio.

Solución

Campo de un hilo infinito

A partir del resultado del problema “Campo de un segmento”, halle el campo eléctrico creado por un hilo rectilíneo infinitamente largo cargado con una densidad homogénea $\lambda _{0}$.

Este campo puede también hallarse mediante la ley de Gauss. ¿Cómo se llega en ese caso al resultado?

Solución

Campo de dos hilos paralelos

Una línea de alta tensión puede modelarse como dos hilos paralelos, infinitamente largos, cargados con densidades $\pm \lambda _{0}$. Si situamos los ejes de forma que los hilos son paralelos al eje OZ y pasan por los puntos $\pm b{\vec {\imath }}$,

1. Halle la fuerza que cada hilo produce sobre un segmento de longitud ℓ del otro.
2. Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

Solución

Flujo del campo eléctrico de un cubo

Un cubo de arista b contiene una carga $Q_{0}$ distribuida uniformemente en su volumen. No hay más cargas en el sistema. Sea S una superficie esférica de radio b centrada en uno de los vértices del cubo. ¿Cuánto vale el flujo del campo eléctrico a través de S?

Solución

Campo de distribuciones esféricas

Con ayuda de la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio para las siguientes distribuciones con simetría esférica:

1. Una superficie esférica de radio a que almacena una carga Q distribuida uniformemente.
2. Dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b) que almacenan respectivamente cargas +Q y -Q, distribuidas uniformemente.
3. Dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b) cargadas respectivamente con densidades superficiales uniformes $+\sigma _{0}$ y $-\sigma _{0}$.
4. Una esfera maciza de radio b que almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen.
5. Una esfera maciza de radio $2b$ con una densidad de carga dependiente de la distancia al centro como $\rho (r)=A(b-r)$ ($r<2b$).

Solución

Dos superficies esféricas cargadas

Se tiene un sistema formado por dos superficies esféricas cargadas (“1” y “2”), de radios 4b y 2b, respectivamente. La superficie “2” se encuentra parcialmente en el interior de la “1”, centrada a una distancia 3b del centro de la “1”, punto que tomamos como origen de coordenadas. La superficie “1” almacena una carga +Q y la “2” una carga −Q, ambas distribuidas uniformemente sobre cada superficie

1. Calcule el campo eléctrico en los siguientes puntos del plano OXY:
   1. El origen de coordenadas $O(0,0)$
   2. El centro de la esfera “2” $A(3b,0)$
   3. El punto $B_{1}(b^{-},0)$ situado justo fuera de la esfera “2” y el punto $B_{2}(b^{+},0)$ situado justo dentro de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
   4. El punto $C_{1}(4b^{-},0)$ situado justo dentro de la esfera “1” y el punto $C_{2}(4b^{+},0)$ situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
   5. El punto $D_{1}(0,4b^{-})$ situado justo dentro de la esfera “1” y el punto $D_{2}(0,4b^{+})$ situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
2. Calcule el potencial eléctrico en los puntos anteriores, tomando como origen de potencial el infinito.
3. Halle el trabajo necesario para llevar una carga puntual q_0 desde el punto $G(6b,0)$ al punto $H(-6b,0)$ siguiendo un camino rectilíneo.
4. En puntos alejados del sistema, éste se ve como un dipolo eléctrico. ¿Cuál es el momento dipolar de la distribución?

Solución

Esfera con hueco esférico

Se tiene una carga $Q=14\,\mathrm {nC}$ distribuida uniformemente en una esfera maciza de radio 10.0 cm en la que se ha horadado una cavidad esférica de radio 5.0 cm cuyo centro está a 5.0 m de la esfera grande.

Calcule el campo eléctrico producido por este sistema en los siguientes puntos:

1. O, el centro de la esfera grande.
2. C, el centro del hueco.
3. A, el borde exterior del hueco.
4. B, el punto diametralmente opuesto a A.
5. P, un punto situado a 25 cm del origen O en la dirección de X positivo.

Solución