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Problemas de Movimiento ondulatorio (GIC)

De Laplace

Contenido

1 Problemas del boletín

1.1 Pulso en una cuerda

Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

y = \frac{1}{a\,x^2-b\,tx+c\,t^2+d}

donde x e y se miden en centímetros y t en segundos.

  1. Determina las relaciones que deben cumplirse entre los parámetros a, b, c y d para que esta función represente una onda viajera.
  2. Demuestra que esta señal cumple la ecuación de onda si se cumplen las relaciones anteriores
  3. Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en x = 15 cm, en (a) t = 0 s, (b) t = 0.5 s, (c) t = 1 s.

1.2 Propiedades de una onda sinusoidal

Una perturbación a lo largo de una cuerda se describe mediante la ecuación

y = 0.3\cos(126t-0.628x)\,

con x e y medidos en centímetros y t en segundos.

Para esta onda, halle su amplitud, frecuencia angular, periodo, número de onda y longitud de onda.

1.3 Solución de onda estacionaria

Una perturbación de una cuerda es de la forma

y =0.2\cos(126t)\,\mathrm{sen}\,(0.314x)

con x e y medidos en centímetros y t en segundos. Demuestre que esta función verifica la ecuación de ondas. ¿Qué velocidad le corresponde?

1.4 Propiedades de una onda

Una onda sinusoidal transversal que se desplaza por una cuerda tiene un periodo T = 25.0 ms y viaja en la dirección negativa del eje x a una velocidad de 30 m/s. En el instante t = 0 s una partícula de la cuerda situada en la posición x = 0 m tiene un desplazamiento de 2.00 cm y se mueve hacia abajo con una velocidad de 2 m/s. Halle la amplitud, la longitud de onda, y el desfase inicial de esta señal.

1.5 Características de una onda en una cuerda

Una cuerda de masa 0.200 kg y 4.00 m de longitud se conecta a un diapasón que oscila con una frecuencia de 20.0 Hz. La amplitud de las oscilaciones es de 1.00 cm. La onda transversal excitada en la cuerda resulta tener una longitud de onda de 10.0 cm. Determine la velocidad de la onda y la tensión aplicada a la cuerda. ¿Por qué factor es preciso multiplicar la tensión aplicada para que la longitud de onda se duplique?

1.6 Onda en un hilo bimetálico

Un hilo de acero (ρ = 7.85 g/cm³) de 3.0 m y un hilo de cobre (ρ = 8.96 g/cm³) de 2.0 m ambos con un diámetro de 1 mm están conectados por un extremo. El extremo libre del acero está atado al techo, mientras que del del cobre cuelga una masa de 20 kg. ¿Cuánto tarda una oscilación de la masa en llegar hasta el techo?

Suponga despreciable el incremento en la tensión debido al peso de los propios cables. ¿Podría hacerse una estimación del error cometido al hacer esta aproximación?

1.7 Duración de un trueno

Un rayo cae desde una nube situada a 2 km de altura. Si el rayo cae verticalmente e impacta de forma casi instantánea en un punto situado a 10 km de un observador, ¿cuánto tarda un el trueno en llegar a este observador? ¿Cuánto dura este trueno? Suponga que el aire se encuentra a 20 ºC.

1.8 Onda sonora en agua

Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos submarinos. El barco se encuentra en reposo en una zona en la que la profundidad del lecho marino es de 50.0 metros. El sistema emite un haz de ondas de sonido de frecuencia f = 262 Hz que forma un ángulo de 30.0º con la superficie del mar y mide el tiempo que tarda la onda, que se refleja en un pecio, en regresar al detector. Sabiendo que el tiempo de retardo es 0.135 segundos y que la densidad del agua es 1.06×10³ kg/m³, calcule

  1. La velocidad del sonido en el agua
  2. El módulo de compresibilidad del agua
  3. La longitud de onda de la señal emitida.

1.9 Superposición de dos y tres señales

Considere los casos de superposición siguientes

  1. y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)
  2. y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)
  3. y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)
  4. y_1= 4A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = 3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)\qquad y_3 = 5A\cos(\omega t + kx )

Para cada uno de los casos, determine la ecuación de la señal resultante, ¿es una onda viajera o una estacionaria?


1.10 Onda estacionaria en un órgano

Determine la longitud de un tubo de órgano cerrado por uno de sus extremos y abierto por el otro, si debe producir una nota de 440 Hz a 25 ºC. Admita que la velocidad del sonido en el aire a temperaturas próximas a la ambiente depende de la temperatura como

c = 331\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 0.6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}\cdot^\circ\mathrm{C}}T_C

con TC la temperatura en grados centígrados.

1.11 Tensión de una cuerda de piano

Las cuerdas de los pianos están hechas esencialmente de acero (\rho = 7.85\,\mathrm{g/cm^3}) tensado

  1. Determine la ecuación para la tensión de una cuerda si su diámetro es D y su longitud L y debe producir una nota de frecuencia f.
  2. La nota más grave de un piano es el La de la subcontraoctava (27.5 Hz). Calcule la longitud que debería tener esta cuerda si está hecha de hilo de 1.224 mm de diámetro y sometida a una tensión de 600 N. ¿Es factible esta longitud?
  3. Si la longitud de la cuerda está limitada a 110 cm, ¿con qué tensión habría que tensar el hilo anterior para producir la misma nota?
  4. Si la tensión debe ser 600 N y la longitud 110 cm, ¿qué grosor debería tener la cuerda para producir esta nota? ¿Cuál es el problema de este grosor?
  5. Si un piano tiene un total de 200 cuerdas, ¿a qué tensión se encuentra la estructura del piano?

2 Problemas adicionales

2.1 Potencia en una cuerda vibrante

Se van a transmitir ondas sinusoidales de 5.00 cm de amplitud a lo largo de una cuerda que tiene una densidad de masa lineal 40 g/m. Si la fuente puede proporcionar una potencia máxima de 300 W y la cuerda soporta una tensión de 300 N ¿cuál es la frecuencia de vibración más alta con que puede operar la fuente?


2.2 Potencia en una onda estacionaria

Dos ondas sinusoidales de la misma amplitud y frecuencia viajan por una cuerda tensa en direcciones opuestas. Calcule y dibuje la forma de la onda resultante. Demuestre que la potencia promedio transmitida por esta onda es nula.

2.3 Onda viajera en una cuerda tensa

Una onda viajera en una cuerda tensa está descrita por la expresión

y(x,t) = 2.00cos(12.57x − 638t),

donde y se mide en cm, x en m y t en s. La densidad lineal de masa de la cuerda es \mu=5\,\mathrm{g/cm}.

  1. ¿Cuanto valen la longitud de onda y el período de la onda?
  2. ¿Cuanto vale la tensión de la cuerda?
  3. ¿Cual es el máximo valor de la velocidad de un punto de la cuerda?
  4. ¿Cual es la potencia que transmite la onda?

2.4 Onda estacionaria en una cuerda tensa

Una onda estacionaria en una cuerda horizontal de longitud 1.64 m oscila de modo que tiene dos nodos (sin contar los puntos extremos) cuando la frecuencia es de 120 Hz. En los antinodos la distancia entre el punto más alto y el más bajo que alcanza la cuerda es de 8.00 cm.

  1. Escribe una función matemática que describa la onda estacionaria.
  2. Escribe funciones matemáticas que describan las ondas de igual amplitud que viajan en sentidos contrarios y producen la onda estacionaria.
  3. Si la densidad volumétrica de masa de la cuerda es 1.00\times10^{-3}\,\mathrm{kg/m}, calcula la tensión a la que está sometida la cuerda.

2.5 Armónicos en una cuerda tensa

Una cuerda de longitud L=35.0\,\mathrm{m} tiene una densidad de masa lineal \mu = 0.0850\,\mathrm{g/cm} y soporta una tensión F_T=18.0\,\mathrm{N}. Se excita un onda estacionaria en la cuerda. Calcula las frecuencias de los dos primeros armónicos cuando

  1. los dos extremos están fijos.
  2. un extremo está fijo y el otro está libre.

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