con x e y medidos en centímetros y t en segundos. Demuestre que esta función verifica la ecuación de ondas. ¿Qué velocidad le
corresponde?
Solución
Hay que señalar que la forma de esta solución no es una señal que viaje ni hacia la derecha ni hacia la izquierda. Es lo que se denomina una onda estacionaria.
Comenzamos escribiendo esta solución en la forma más general
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=0.200\,\mathrm{cm}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega=126\,\mathrm{s}^{-1}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=0.314\,\mathrm{cm}^{-1}}
Se trata de demostrar que esta solución cumple una ecuación de la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=0}
con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v}
una constante que debemos calcular.
Hallamos las dos derivadas parciales segundas. Respecto al tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t}= -A\omega \,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2y}{\partial t^2}=-A\omega^2\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x) = -\omega^2 y}
Respecto a la posición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}= -Ak\cos(\omega t)\cos(k x)}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2y}{\partial x^2}=-Ak^2\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x) = -k^2 y}
Sustituyendo en la ecuación de onda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -k^2y+\frac{\omega^2}{v^2}y=-\left(k^2-\frac{\omega^2}{v^2}\right)y}
Esta expresión se anula en todo instante y para todos los puntos si la velocidad de las ondas es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k^2-\frac{\omega^2}{v^2}}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \frac{\omega}{k}}
En nuestro caso
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \frac{\omega}{k} = \frac{126}{0.314}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\simeq 4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}
Otra forma de resolver este problema es descomponiendo esta onda estacionaria en suma de ondas viajeras. Tenemos en general que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\,(a)\cos(b) = \frac{1}{2}\,\mathrm{sen}\,(a+b)+\frac{1}{2}\mathrm{sen}\,(a-b)}
así que la señal del enunciado puede escribirse como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(kx) = \frac{A}{2}\,\mathrm{sen}\,(kx+\omega t)+\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}\,(kx-\omega t)}
y a su vez podemos escribir esta combinación como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{A}{2}\,\mathrm{sen}\,\left(k\left(x+v t\right)\right)+\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}\,(k(x-v t))=g(x+vt)+f(x-vt)}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=\frac{\omega}{k}}
esto es, que la señal equivale a la suma de dos ondas viajeras, una de las cuales va hacia la derecha y la otra hacia la izquierda, ambas con la misma velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \omega/k}
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