Onda estacionaria en una cuerda tensa, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Una onda estacionaria en una cuerda horizontal de longitud 1.64 m oscila de modo que tiene dos nodos (sin contar los puntos extremos) cuando la frecuencia es de 120 Hz. En los antinodos la distancia entre el punto más alto y el más bajo que alcanza la cuerda es de 8.00 cm.

1. Escribe una función matemática que describa la onda estacionaria.
2. Escribe funciones matemáticas que describan las ondas de igual amplitud que viajan en sentidos contrarios y producen la onda estacionaria.
3. Si la densidad volumétrica de masa de la cuerda es $1.00\times 10^{-3}\,\mathrm {kg/m}$, calcula la tensión a la que está sometida la cuerda.

Solución

Análisis previo

El problema nos da información para construir la función matemática que describe una onda estacionaria.

Función matemática

Una onda estacionaria en una cuerda tensa se describe con una función matemática de la forma

$y(x,t)=B\,\mathrm {sen} \,(kx)\cos(\omega t).$

Hay que fijarse en que la dependencia en $x$ viene dada por un seno, no por un coseno. Esto tiene que ser así para que el extremo de la cuerda dado por $x=0$ sea un nodo, es decir, $y(0,t)=0$. Si se usa un coseno para la dependencia espacial hay que añadir una constante de fase de $\pi /2$.

Obtenemos la frecuencia angular de la frecuencia dada en el enunciado

$\omega =2\pi f=754\,\mathrm {rad/s} .$

Para obtener el número de onda necesitamos la longitud de onda. El enunciado dice que el modo de oscilación tiene 2 nodos en la cuerda, sin contar los extremos. Entonces corresponde al modo $n=3$. Entonces

$\lambda =\lambda _{3}={\dfrac {2L}{3}}=1.09\,\mathrm {m} .$

El número de onda es

$k={\dfrac {2\pi }{\lambda }}=5.76\,\mathrm {m^{-1}} .$

Por último, la distancia entre el punto más alto y el mas bajo de la cuerda en una oscilación es 8.00 cm. Entonces

$B=4.00\,\mathrm {cm} .$

La función matemática es

$y(x,t)=4.00\,\mathrm {sen} \,(5.76x)\cos(754t)\,(\mathrm {cm} )$

con $x$ medido en cm y $t$ en segundos.

Ondas viajeras que forma la onda estacionaria

La onda estacionaria se produce por la superposición de dos ondas viajera con la misma amplitud, velocidad y frecuencia, pero con sentidos contrarios de propagación

$y_{+}(x,t)=A\,\mathrm {sen} \,(kx-\omega t),\qquad y_{-}(x,t)=A\,\mathrm {sen} \,(kx+\omega t)$

La superposición de estas dos ondas produce la onda estacionaria

$y(x,t)=2A\,\mathrm {sen} \,(kx)\cos(\omega t).$

Comparando con el apartado anterior vemos que

$B=2A\Longrightarrow A=2.00\,\mathrm {cm} .$

Entonces las dos ondas viajeras son

$y_{+}(x,t)=2.00\,\mathrm {sen} \,(5.76\,x-154\,t)\,\mathrm {(cm)} ,\qquad y_{-}(x,t)=2.00\,\mathrm {sen} \,(5.76\,x+154\,t)\,\mathrm {(cm)}$

con $x$ medido en cm y $t$ en segundos.

Tensión de la cuerda

Necesitamos la velocidad de propagación de la onda

$c={\dfrac {\omega }{k}}=131\,\mathrm {m/s}$

La tensión en la cuerda es

$F_{T}=\mu c^{2}=17.2\,\mathrm {N} .$