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Propiedades de una onda

De Laplace

1 Enunciado

Una onda sinusoidal transversal que se desplaza por una cuerda tiene un periodo T = 25.0 ms y viaja en la dirección negativa del eje x a una velocidad de 30 m/s. En el instante t = 0 s una partícula de la cuerda situada en la posición x = 0 m tiene un desplazamiento de 2.00 cm y se mueve hacia abajo con una velocidad de 2 m/s. Halle la amplitud, la longitud de onda, y el desfase inicial de esta señal.

2 Solución

La onda posee la expresión

y = A\cos(\omega t + k x + \phi)\,

donde el signo "+" se debe a que viaja en la dirección negativa del eje x. La frecuencia angular ω la obtenemos del periodo

\omega = \frac{2\pi}{T}= \frac{2\pi}{25\,\mathrm{ms}}\,\frac{1000\,\mathrm{ms}}{1\,\mathrm{s}}=80\pi\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=251\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

y, conocida el periodo y la velocidad de la onda obtenemos la longitud de onda

\lambda = v\,T = 30\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\,25\,\mathrm{ms}\,\frac{1\,\mathrm{s}}{1000\,\mathrm{ms}} = 0.750\,\mathrm{m}

y de aquí el número de onda

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{8\pi}{3}\,\mathrm{m}^{-1}=8.38\,\mathrm{m}^{-1}

La amplitud y el desfase las obtenemos de la posición y la velocidad iniciales. La velocidad de desplazamiento de cada punto de la onda es

y = A\cos(\omega t +kx+\phi)\,   \Rightarrow   \frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t + k x + \phi)

y en x = 0 y t = 0

0.02\,\mathrm{m}=y_0 = A\cos(\phi)        -2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_0=-A\omega\,\mathrm{sen}\,(\phi)

Despejando

A = \sqrt{y_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}} = 2.15\,\mathrm{cm}    \phi=-\,\mathrm{arctg}\,\frac{v_0/\omega}{y_0}=0.377\,\mathrm{rad}

con lo que, finalmente, la expresión de la onda es

y = 2.15\,\mathrm{cos}(251.3t+8.38x+0.377)\,

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