Tensión de una cuerda de piano

Enunciado

Las cuerdas de los pianos están hechas esencialmente de acero ($\rho =7.85\,\mathrm {g/cm^{3}}$) tensado

1. Determine la ecuación para la tensión de una cuerda si su diámetro es d y su longitud L y debe producir una nota de frecuencia f.
2. La nota más grave de un piano es el La de la subcontraoctava (27.5 Hz). Calcule la longitud que debería tener esta cuerda si está hecha de hilo de 1.224\,mm de diámetro y sometida a una tensión de 600 N. ¿Es factible esta longitud?
3. Si la longitud de la cuerda está limitada a 110 cm, ¿con qué tensión habría que tensar el hilo anterior para producir la misma nota?
4. Si la tensión debe ser 600 N y la longitud 110 cm, ¿qué grosor debería tener la cuerda para producir esta nota? ¿Cuál es el problema de este grosor?
5. Si un piano tiene un total de 200 cuerdas, ¿a qué tensión se encuentra la estructura del piano?

Solución

Solución general

Las ondas estacionarias en una cuerda poseen una longitud de onda

$\lambda ={\frac {2L}{n}}$

siendo la longitud correspondiente al modo fundamental el caso $n=1$, $\lambda =2L$. La frecuencia correspondiente a esta longitud de onda es

$v={\frac {\lambda }{T}}$ ⇒ $f={\frac {1}{T}}={\frac {v}{\lambda }}={\frac {v}{2L}}$

Sustituyendo el valor de la velocidad para las ondas en una cuerda vibrante

$f={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {F_{T}}{\mu }}}$

A su vez, la densidad lineal de masa de una cuerda se puede expresar en términos de la densidad volumétrica del material

$\mu ={\frac {m}{L}}={\frac {\rho V}{L}}={\frac {\rho SL}{L}}=\rho S={\frac {\pi \rho D^{2}}{4}}$

siendo $S=\pi D^{2}/4$ la sección transversal del cable, supuesto circular. Llevando esto a la expresión de la frecuencia nos queda

$f={\frac {1}{LD}}{\sqrt {\frac {F_{T}}{\pi \rho }}}$

Normalmente, lo que se desea conocer es la tensión a la que hay que someter la cuerda para obtener la frecuencia deseada, lo que nos da la fórmula del afinador de pianos

$F_{T}=\pi \rho L^{2}D^{2}f^{2}\,$

En la vida real, las cuerdas no se comportan según este modelo tan sencillo y la fórmula se convierte en

$F_{T}=C\rho L^{2}D^{2}f^{2}\,$

siendo $C$ una constante empírica dependiente del piano y de la cuerda en cuestión. Se mantiene no obstante, el hecho de que la tensión es cuadrática con la frecuencia.

Longitud necesaria

Los siguientes apartados consisten en sustituir en la fórmula anterior.

Si conocemos la tensión, la densidad de masa, el diámetro y la frecuencia deseada, la longitud necesaria será (suponiendo la cuerda ideal)

$L={\frac {1}{fD}}{\sqrt {\frac {F_{T}}{\pi \rho }}}={\frac {1}{27.5}}\mathrm {s} \times {\frac {1}{1.224\times 10^{-3}\mathrm {m} }}\times {\sqrt {\frac {600\,\mathrm {N} }{\pi 7.85\,(10^{-3}\mathrm {kg} )/(10^{-2}\,\mathrm {m} )^{3}}}}=4.63\,\mathrm {m}$

Esta longitud es a todas luces excesiva. Es claro que para construir una cuerda de piano habrá que variar o su tensión o su grosor para que quepa dentro del armazón.

Tensión necesaria

Veamos si puede conseguirse la longitud adecuada cambiando la tensión. Para una longitud fijada de 1.1 m y el resto de los datos iguales que en el apartado anterior, la tensión necesaria es

$T=\pi \rho L^{2}D^{2}f^{2}=33.8\,\mathrm {N}$

que es demasiado pequeña (equivale a colgar sólo 3.4 kg). la cuerda no estaría suficientemente tensa y se comportaría de una manera muy poco armónica.

Diámetro preciso

Podemos probar a usar una cuerda más gruesa, que tendrá por tanto una mayor densidad lineal de masa.

Suponiendo los datos iguales a los de los apartados anteriores (con una tensión de 600 N) y despejando el diámtro

$D={\frac {1}{Lf}}{\sqrt {\frac {F_{T}}{\pi \rho }}}=5.2\,\mathrm {mm}$

Este grosor es excesivo para una cuerda de piano. Medio centímetro es ya una varilla en lugar de una cuerda tensa. El resultado sería una “cuerda” demasiado rígida y difícil de hacer vibrar.

¿Cómo se hacen entonces las cuerdas de piano correspondientes a las notas bajas? La solución es efectivamente aumentar su grosor, pero no a base de usar un cable más grueso (ya que esto aumenta su rigidez). En su lugar, alrededor del núcleo de acero se enrolla hilo de cobre, que aumenta el grosor manteniéndolo flexible. Es el mismo principio que hace que las cuerdas de bajas frecuencias de la guitarra estén forradas.

Tensión total

Este último apartado es simplemente una curiosidad práctica. Los 600 N de que hablamos es la tensión de cada cuerda del piano, que es soportada por la estructura a la que está atada. Puesto que un piano tiene del orden de 200 cuerdas (ya que algunas son dobles y otras triples), la tensión total que soporta la estructura es

$F_{\mathrm {total} }=600\,\mathrm {N} \times 200=120000\,\mathrm {N}$

Esta fuerza es gigantesca, equivale a unas 12 toneladas. El valor es solo indicativo (ya que depende de la tensión, que podrá ser mayor) y del número de cuerdas. Pero es cierto que el cuerpo de un piano soporta una tensión entre 10 y 20 toneladas. Es por ello que, en el interior de la cubierta de madera existe una estructura de hierro, que posee la resistencia necesaria.