Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)}
Para cada uno de los casos, determine la ecuación de la señal resultante, ¿es una onda viajera o una estacionaria?
Solución
Primer caso
Debemos sumar las señales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1= A \cos(\omega t - kx)\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)}
Ambas representan señales viajando hacia la izquierda, con la misma frecuencia, por lo que su suma será otra onda viajera, cuya amplitud dependerá del desfase.
Para sumarlas de forma sencilla las escribimos ambas como cosenos. Aplicando la relación trigonométrica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\left(\alpha\right)=\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}
las señales quedan como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1= A \cos(\omega t - kx)\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_2 = A\cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{2}\right)}
Aplicando ahora la relación que transforma sumas en productos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}
la superposición es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = y_1+y_2=2A\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}A \cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{4}\right)}
Resulta una onda viajera, de amplitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2}A}
(aproximadamente vez y media de la amplitud de cada onda), y con un desfase inicial de π/4.
Segundo caso
En el segundo caso
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1= A \cos(\omega t - kx)\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)}
se trata de sumar dos ondas de la misma amplitud pero que se propagan en direcciones diferentes. Por ello, su suma va a consistir en una onda estacionaria.
Como en el apartado anterior, escribimos el seno como un coseno
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)=A\cos\left(\omega t + k x - \frac{\pi}{2}\right)}
y la transformación de sumas en productos, lo que nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=y_1+y_2=A \cos(\omega t - kx)+A\cos\left(\omega t + k x - \frac{\pi}{2}\right) = 2A\cos\left(k x - \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{4}\right)}
Esta es la ecuación de una onda estacionaria, con amplitud dependiente de la posición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A(x) = 2A\cos\left(k x - \frac{\pi}{4}\right)}
que alcanza el valor máximo de 2. Vemos que el efecto de introducir una fase simplemente traslada la posición de los nodos y el desfase de la oscilación de cada punto, pero produce el mismo efecto de onda estacionaria.
Tercer caso
En el tercer caso tenemos las señales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1= A\cos(\omega t - kx)\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)}
Estas señales son respectivamente una onda viajera hacia la derecha y una onda estacionaria, por lo que no es evidente qué va a resultar de superposición.
Podemos hallarlo desarrollando el coseno de la onda viajera
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1=A\cos(\omega t - kx)=A\cos(\omega t)\cos(kx)+A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(kx)}
que puede interpretarse como que una onda viajera es suma de dos estacionarias (del mismo modo que una estacionaria es suma de dos viajeras). Si ahora sumamos esta forma con la segunda señal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = y_1+y_2=A\cos(\omega t)\cos(kx)+A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(kx)-2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)=A\cos(\omega t)\cos(kx)-A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(kx)}
y este resultado puede volverse a combinar en una onda viajera
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = A\cos(\omega t)\cos(kx)-A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(kx)= A\cos(\omega t + k x)}
Nos ha resultado, por tanto, que la superposición es una onda viajera hacia la izquierda, y de la misma amplitud que la onda viajera original.
No hay que pensar que este resultado es general y que la suma de una onda viajera y una estacionaria es siempre una única onda viajera. En general resultarán dos ondas viajeras, de distinta amplitud, una en cada sentido (o, equivalentemente, una onda viajera más una estacionaria, o dos estacionarias).
Cuarto caso
Por último tenemos la composición de tres señales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1= 4A\cos(\omega t - kx)\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_2 = 3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_3 = 5A\cos(\omega t + kx )\,}
Dos de estas señales (las que llevan el signo negativo) son ondas viajeras hacia la derecha, mientras que la tercera viaja hacia la izquierda.
Sumamos en primer lugar las dos viajeras hacia la derecha, que nos producirán una onda viajera en el mismo sentido.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1+y_2= A'\cos(\omega t - kx+\phi')\,}
se trata de hallar la amplitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A'}
y el desfase inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi\,}
. En lugar de emplear relaciones trigonométricas lo haremos a partir de las condiciones iniciales. El estado de oscilación en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0}
será
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.(y_1+y_2)\right|_{x=0}=A'\cos(\omega t +\phi')=\left.y_1\right|_{x=0}+\left.y_2\right|_{x=0}=4A\cos(\omega t)+3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)}
Igualando ahora la posición y la velocidad inicial de este movimiento oscilatorio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A'\cos(\phi')=4A\cdot 1 + 3A\cdot 0 = 4A\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -A'\omega\,\mathrm{sen}\,(\phi')=-4A\omega\cdot 0+3A\omega\cdot 1=3A\omega}
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A'\cos(\phi')=4A\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A'\,\mathrm{sen}\,(\phi')=-3A}
obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A'=5A\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \phi'=-\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)}
Por tanto, la suma de las dos primeras señales es la onda viajera
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1+y_2=5A\cos\left(\omega t - kx -\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)\right)}
Puesto que tiene la misma amplitud que la onda viajera hacia la izquierda, el resultado será una onda estacionaria
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1+y_2+y_3=5A\cos\left(\omega t - kx -\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)\right)+5A\cos\left(\omega t + kx\right)= }
Aplicando de nuevo las transformaciones de sumas en productos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1+y_2+y_3 = 10A\cos\left(kx +\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)\right)\cos\left(\omega t-\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)\right)}
Podemos simplificar un poco esta expresión observando que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)=\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{1}{3}\right)}
por lo que nos queda finalmente la onda estacionaria
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_1+y_2+y_3 = 10A\cos\left(kx +\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{1}{3}\right)\right)\cos\left(\omega t-\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{1}{3}\right)\right)}
