Onda viajera en una cuerda tensa (Nov. 2017 G.I.C.)

Enunciado

Una onda viajera en una cuerda tensa está descrita por la expresión

$y(x,t)=2.00\cos(12.57x-638t),$

donde $y$ se mide en cm, $x$ en m y $t$ en s. La densidad lineal de masa de la cuerda es $\mu =5.00\,\mathrm {g/cm}$.

1. ¿Cuanto valen la longitud de onda y el período de la onda?
2. ¿Cuanto vale la tensión de la cuerda?
3. ¿Cual es el máximo valor de la velocidad de un punto de la cuerda?
4. ¿Cual es la potencia que transmite la onda?

Solución

Análisis previo

El problema proporciona la función matemática de una onda viajera. En general, esta función puede escribirse como

$y(x,t)=A\cos(kx\pm \omega t+\phi ),$

con el signo - para ondas que viajan en el sentido positivo del eje $X$ y el signo + para las que viajan en sentido contrario. Comparando con la función dada en el enunciado obtenemos los parámetros de la onda.

Longitud de onda y período

El número de onda es

$k=12.57\,\mathrm {m^{-1}} .$

La longitud de onda es

$\lambda ={\dfrac {2\pi }{k}}=50.00\,\mathrm {cm} .$

La frecuencia angular es

$\omega =638\,\mathrm {rad/s} ,$

por lo que el período es

$T={\dfrac {2\pi }{\omega }}=9.85\,\mathrm {ms} =9.85\times 10^{-3}\,\mathrm {s} .$

Tensión de la cuerda

La velocidad de propagación de una onda en una cuerda tensa es

$c={\sqrt {\dfrac {F_{T}}{\mu }}}$

siendo $F_{T}$ la tensión de la cuerda y $\mu$ la densidad lineal de masa. La velocidad de propagación de la onda es

$c={\dfrac {\omega }{k}}=5.08\,\mathrm {m/s} .$

La densidad lineal de masa es

$\mu =5.00\,\mathrm {\dfrac {g}{cm}} =5\,\mathrm {{\dfrac {g}{cm}}{\dfrac {1\,kg}{10^{3}\,g}}{\dfrac {10^{2}\,cm}{1\,m}}} =0.500\,\mathrm {kg/m} .$

Por tanto la tensión de la cuerda es

$F_{T}=\mu c^{2}=12.9\,\mathrm {N} .$

Velocidad máxima de un punto de la cuerda

Una onda en una cuerda es transversal. Cada punto de la cuerda se mueve en la dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda. La velocidad de cada punto de la cuerda es

$v_{y}(x,t)={\dfrac {\partial y}{\partial t}}=-A\omega \,\mathrm {sen} \,(kx-\omega t+\phi ).$

Entonces, el valor máximo de la velocidad es

$v_{y}^{max}=A\omega =12.8\,\mathrm {m/s} .$

Potencia que transmite la onda

La expresión de la potencia que transmite una onda en una cuerda es

$P={\dfrac {1}{2}}\mu A^{2}\omega ^{2}c=207\,\mathrm {W} .$