Onda en un hilo bimetálico

Enunciado

Un hilo de acero (ρ = 7.85 g/cm³) de 3.0 m y un hilo de cobre (ρ = 8.96 g/cm³) de 2.0 m ambos con un diámetro de 1 mm están conectados por un extremo. El extremo libre del acero está atado al techo, mientras que del del cobre cuelga una masa de 20 kg. ¿Cuánto tarda una oscilación de la masa en llegar hasta el techo?

Suponga despreciable el incremento en la tensión debido al peso de los propios cables. ¿Podría hacerse una estimación del error cometido al hacer esta aproximación?

Solución

El tiempo en llegar al extremo superior es la suma del que emplea en recorrer el hilo de cobre más el que tarda en recorrer el de acero.

$\Delta t={\frac {L_{1}}{v_{1}}}+{\frac {L_{2}}{v_{2}}}$

donde denomianmos “1” al cable de acero y “2” al de cobre.

La velocidad en cada medio es diferente debido a las distintas densidades de masa. Para cada uno de los cables tenemos que

$\mu _{i}={\frac {m_{i}}{L_{i}}}$

siendo la masa total de cada cable

$m_{i}=\rho _{i}V_{i}=\rho _{i}S_{i}L_{i}=\rho _{i}{\frac {\pi D_{i}^{2}}{4}}L_{i}$ ⇒ $m_{1}=18.5\,\mathrm {g}$    $m_{2}=14.1\,\mathrm {g}$

Las densidades lineales de masa valen

$\mu _{i}={\frac {\pi \rho _{i}D_{i}^{2}}{4}}$ ⇒ $\mu _{1}=6.17\,{\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} }}$    $\mu _{2}=7.74\,{\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {m} }}$

De aquí que la velocidad en cada medio sea

$v_{i}={\sqrt {\frac {F_{T}}{\mu _{i}}}}={\sqrt {\frac {Mg}{\pi \rho _{i}D_{i}^{2}/4}}}={\frac {2}{D_{i}}}{\sqrt {\frac {Mg}{\pi \rho _{i}}}}$ ⇒ $v_{1}=178\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$    $v_{1}=159\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

La tensión a la que están sometidos los dos cables es la misma e igual al peso de la masa situada en el extremo inferior. Esto presupone que despreciamos el efecto en la tensión de la masa de los propios cables. Más adelante examinaremos si este efecto es importante.

Sustituyendo en la expresión del tiempo de viaje nos queda finalmente

$\Delta t={\frac {D_{1}L_{1}}{2}}{\sqrt {\frac {\pi \rho _{1}}{Mg}}}+{\frac {D_{2}L_{2}}{2}}{\sqrt {\frac {\pi \rho _{2}}{Mg}}}=28.9\,\mathrm {ms}$

En los cálculos anteriores hemos considerado que la tensión se debe exclusivamente a la masa que cuelga de los cables, despreciando el efecto de estos. Ésta es una hipótesis razonable puesto que la masa total de los cables es de 32.6 g, lo cual es un 0.16% de la masa de la pesa. Esto nos permite suponer que el error que estamos cometiendo es del orden de la décima del 1%, esto es, en la tercera cifra decimal.

Podemos hacer una estimación más precisa del error cometido sin necesidad de resolver el problema completo teniendo en cuenta la masa de los cables (lo cual es factible, pero requiere cálculo integral). El tiempo real estará comprendido entre el que hemos calculado y el que correspondería a una masa colgante $M'=M+m_{1}+m_{2}$. El cociente entre el tiempo que obtendríamos con esta masa y el que hemos hallado es

${\frac {\Delta t'}{\Delta t}}={\sqrt {\frac {M}{M'}}}={\sqrt {\frac {M}{M+m_{1}+m_{2}}}}$

y el error relativo cometido estará en el rango

$\epsilon <\left|{\frac {\Delta t'-\Delta t}{\Delta t}}\right|=\left|{\sqrt {\frac {M}{M+m_{1}+m_{2}}}}-1\right|=0.0\%$

que efectivamente es aproximadamente una milésima.

Si quisiéramos hacer el cálculo exacto deberíamos suponer una velocidad dependiente de la altura (ya que la tensión va aumentando ligeramente a medida que subimos), siendo el tiempo total en recorrer uno de los cables

$\Delta t=\int \mathrm {d} t=\int _{0}^{L}{\frac {\mathrm {d} z}{v(z)}}$

con

$v(z)={\sqrt {\frac {F_{t}(z)}{\mu }}}={\sqrt {\frac {Mg+\mu gz}{\mu }}}$

la tensión aumenta linealmente con la altura, a medida que más masa va quedando debajo. En nuestro problema, en el que tenemos dos cables en serie, además hay que separar el tiempo en dos integrales, una por cable. Entonces el tiempo que tarda el impulso en recorrer el cable es

$\Delta t=\int \limits _{0}^{L}{\dfrac {\mathrm {d} z}{v(z)}}=\int \limits _{0}^{L}{\sqrt {\dfrac {\mu }{Mg+\mu gz}}}\,\mathrm {d} z=2{\sqrt {\dfrac {M}{g\mu }}}\left({\sqrt {1+{\dfrac {\mu L}{M}}}}-1\right)$