Problemas de electrostática en medios materiales (GIOI)

Acumulación de carga en un conductor

Sobre una lámina metálica de cobre, de 1m² de área y 1cm de espesor se aplica perpendicularmente un campo eléctrico de 1V/m de intensidad. Calcule cuantos electrones se acumulan en la cara del conductor cargada negativamente. ¿Qué proporción suponen estos electrones respecto al total de electrones disponibles, que en el caso del cobre, es 1 por átomo?

Solución

Esfera conductora en equilibrio electrostático

Se tiene una esfera metálica maciza de radio $a$ y no hay más conductores ni cargas en el sistema. Si la esfera almacena una carga total $Q$ calcule:

1. el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
2. el voltaje al que se encuentra
3. la densidad superficial de carga.
4. la energía electrostática que almacena.
5. Particularice los resultados anteriores para un radio $a=10\,\mathrm {cm}$ y una carga $Q=36\,\mathrm {nC}$.

Solución

Esfera conductora en equilibrio electrostático (II)

Suponga ahora que lo que se conoce inicialmente su voltaje $V_{0}$, pero no su carga. Halle en ese caso la carga que almacena, así como el resto de las cantidades obtenidas anteriormente. Particularice los resultados anteriores para un voltaje $V_{0}=1.8\,\mathrm {kV}$.

Solución

Dos esferas conductoras concéntricas

Se construye un sistema de dos conductores metálicos. El “1” es una esfera maciza de radio 9 mm. El “2” es una corona esférica gruesa, concéntrica con la anterior, de radio interior 12 mm y exterior 18 mm. Halle la carga almacenada y el potencial al que se encuentra cada conductor, así como la energía almacenada en el sistema, para los siguientes casos:

1. La esfera almacena una carga de +4 nC y la corona está aislada y descargada.
2. La esfera está aislada y descargada y la corona almacena +6 nC
3. La esfera almacena una carga de +4 nC y la corona de +6 nC
4. La esfera almacena una carga de −4 nC y la corona de +4 nC
5. La esfera almacena una carga de −4 nC y la corona de +6 nC
6. La esfera almacena una carga de +4 nC y la corona está a tierra
7. La esfera está a tierra y la corona almacena una carga de +6 nC
8. La esfera está a +2 kV y la corona está a tierra.
9. La esfera está a tierra y la corona a +2 kV.
10. La esfera y la corona están a +2 kV
11. La esfera está a +2 kV y la corona está a −2 kV.

Sugerencia: Resuélvase primero el caso general, estableciendo relaciones entre las cargas y los potenciales, y expresiones para la energía. Puede ser útil construir un circuito equivalente.

Solución

Conexión de dos esferas alejadas

Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios $a$ y $b$ ($a<b$), muy alejadas entre sí (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cable conductor ideal. El conductor almacena una carga $Q_{0}$.

1. ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada?
2. ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo eléctrico en la superficie?

Solución

Conexión de una fuente a un conductor

Un determinado sistema está formado exclusivamente por un conductor de capacidad $C$. Inicialmente este conductor almacena una carga $Q_{A}$.

Una fuente de tensión continua $V_{B}$ se conecta al conductor mediante un interruptor que se cierra bruscamente.

1. ¿Cuánto cambia la carga almacenada en el conductor?
2. ¿Cuánto cambia la energía electrostática del sistema?
3. ¿Qué trabajo realiza la fuente en este proceso? ¿Cuánta energía se disipa?

Solución

Conexión de una fuente a un conductor (II)

Supóngase ahora que la fuente es una de tensión regulable que se hace variar lentamente desde $V_{A}$ (la correspondiente al estado inicial) a $V_{B}$. ¿Cómo quedan en ese caso las respuestas a los tres apartados anteriores?

Solución

Tres placas conductoras paralelas

Se colocan paralelamente tres placas metálicas cuadradas de 20 cm de lado y espesor despreciable, estando la primera separada de la segunda una distancia de 0.2 mm y ésta de la tercera 0.8 mm. Halle:

1. La carga almacenada en cada placa.
2. El potencial al que se encuentra cada una.
3. El campo eléctrico entre las placas.
4. La energía almacenada en el sistema.

para los siguientes casos:

• La placa central está aislada y descargada, la primera a 24 V y la tercera a tierra.
• La placa central está a 24 V y las otras dos a tierra.
• La primera está a −24 V, la central a +24 V y la tercera a tierra.
• La placa central almacena una carga de 4 nC y las dos placas exteriores están conectadas entre sí.

Solución

Asociación de tres condensadores

Dado el sistema de tres condensadores de la figura,

¿cuánto vale la capacidad equivalente entre A y B?

Solución

Carga frente a esfera

Una esfera conductora se encuentra conectada a tierra. Frente a ella se coloca una carga puntual positiva. No hay más cargas ni conductores en el sistema. ¿Qué signo tienen el potencial y la carga de la esfera?

Solución

Carga frente a esfera (II)

¿Cómo cambian los resultados del problema anterior si la esfera se halla aislada y descargada?

Solución

Dos conductores enfrentados

Se colocan dos conductores uno frente al otro. El primero tiene $Q_{1}>0$ y el segundo $Q_{2}=0$. No hay más cargas ni conductores en el sistema. ¿Qué signos tienen sus potenciales?

Solución

Sistema de tres conductores

En un sistema de tres conductores, el esquema de las líneas de campo es aproximadamente como el de la figura.

1. ¿Cuál de los tres conductores está a mayor potencial? ¿Cuál a menor? ¿Es negativo o nulo alguno de ellos?
2. ¿Cómo es el circuito equivalente que representa este sistema?

Solución

Sistema de cuatro condensadores

El circuito de la figura está formado por cuatro condensadores cuyas capacidades son: $C_{1}=30\,\mathrm {nF}$, $C_{2}=60\,\mathrm {nF}$, $C_{3}=120\,\mathrm {nF}$ y $C_{4}=40\,\mathrm {nF}$. La diferencia de potencial entre A y B es de $12\,\mathrm {V}$.

1. ¿Qué diferencia de potencial mide un voltímetro situado entre los puntos D y E?
2. Calcule la carga de cada condensador y la diferencia de potencial entre las placas de cada uno, así como la energía almacenada en el sistema.
3. Suponga que, sin desconectar la fuente, se cierra el interruptor entre los puntos D y E. Tras la conexión, ¿cuánto valen las cargas, los voltajes y la energía almacenada?

Solución

Condensador que se rellena de dieléctrico

El espacio entre dos placas metálicas circulares de 26 cm de diámetro, situadas paralelamente a una distancia 3 mm está vacío.

Entre las placas se establece una diferencia de potencial de 20 V

1. ¿Cuánto vale la energía almacenada en el sistema?
2. Suponga que, una vez cargado el condensador se desconecta la fuente y se introduce entre las placas una lámina de metacrilato ($\varepsilon _{r}=3.3$) de 3 mm de espesor. ¿Cuánto cambia la energía almacenada en el sistema? ¿Cómo se explica la diferencia?
3. Suponiendo que el proceso anterior se hubiera efectuado sin desconectar la fuente, ¿cuál sería en ese caso la variación en la energía? ¿Cuánto trabajo realizaría la fuente de tensión?

Solución

Condensador con dos capas de dieléctrico

Se tiene el condensador de la figura, formado por dos placas conductoras paralelas de sección $S$ y distancia entre placas $a$. Entre ellas la mitad del espacio está ocupado por un dieléctrico ideal de permitividad relativa 1.5 y la otra mitad por uno de permitividad 3.0, siendo la frontera paralela a las placas. La capacidad del condensador en vacío en ausencia de los dieléctricos es $C_{0}$.

1. ¿Cuánto vale la capacidad de este condensador?
2. Suponga que este condensador se conecta a una fuente de tensión $V_{0}$. Si $E_{1}$ es el campo en el material de permitividad 1.5 y $E_{2}$ en el de permitividad 3.0, ¿en cuál de las dos regiones es más intenso el campo eléctrico? ¿O son iguales?

Solución

Condensador que se rellena de dieléctrico

El espacio entre dos placas de un condensador plano se encuentra relleno de un dieléctrico de permitividad relativa $\varepsilon _{1}=3$. El condensador se carga mediante una fuente de tensión $V_{0}$. Entonces, se abre el interruptor que conecta a la fuente a las placas. A continuación se saca ese bloque de dieléctrico y se sustituye por otro de permitividad relativa $\varepsilon _{2}=2$.

1. ¿Cuánto cambia la energía almacenada en el condensador en este proceso?

Suponga ahora que el proceso se realiza sin desconectar la fuente

2. ¿Cuánto cambia en ese caso la energía almacenada?
3. ¿Qué trabajo realiza la fuente de tensión?
4. ¿Cuánta energía se pierde?

Solución

Condensador que se gira 90°

Se construye un recipiente cilíndrico, con bases perfectamente conductoras de sección $S$, separadas una distancia $a$, y paredes perfectamente dieléctricas, de espesor despreciable. El interior se llena hasta la mitad con un líquido dieléctrico y permitividad $\varepsilon$. El resto se deja vacío.

El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posición, se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es $V_{0}$. Acto seguido se abre el circuito y, sin descargar las placas, el recipiente es girado $90^{\circ }$ alrededor de un eje horizontal. ¿Cuál es la nueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Cómo varía la energía almacenada?

Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.

    

Solución

Cuatro conductores paralelos

Se tiene un sistema de conductores en forma de bloques prismáticos cuadrados de lado $L=20\,\mathrm {cm}$ de lado y grosor $b=1\,\mathrm {cm}$. Estos bloques se sitúan paralelamente de forma que entre el primero y el segundo hay un espacio $3a$; entre el 2º y el 3º hay $2a$ y entre el 3º y el 4º hay $a$, siendo $a=1\,\mathrm {mm}$. El espacio entre los conductores está lleno de un dieléctrico ideal de permitividad $\varepsilon =30\,\mathrm {pF} /\mathrm {m}$.

El conductor 1 y el 4 se encuentran permanentemente a tierra.

Inicialmente el interruptor se encuentra en la posición A, de forma que el conductor 2 se encuentra a un potencial $V_{0}=125\,\mathrm {V}$$, mientras que el 3 está aislado y descargado.

1. Calcule el potencial del conductor 3, así como las cargas netas en cada uno de los cuatro conductores.
2. Halle el campo eléctrico en cada uno de los espacios entre conductores, y las cargas almacenadas en cada una de las superficies conductoras
3. Suponga que bruscamente se pasa el interruptor de la posición A a la B, conectando los conductores 2 y 3, ¿cómo quedan en ese caso las cargas y potenciales de los diferentes conductores, así como las cargas de cada una de las superficies?
4. Halle la energía almacenada en el sistema antes y después de mover el interruptor.

¿Cuánta energía se disipa en el proceso?, ¿cómo puede haber desaparecido esta energía?

Solución

Sistema con tres conductores esféricos

En una esfera metálica de radio 36 mm se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio 18 mm. Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio 9 mm. No hay más conductores en el sistema. Suponga que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada; una de las esferas interiores se encuentra a un potencial 8 kV y la otra se encuentra a tierra.

1. ¿Cuál es la carga en cada conductor? ¿Y el potencial?
2. Halle la energía almacenada en el sistema.
3. Si tomamos como eje OX el que pasa por los tres centros y origen O el centro del sistema, calcule el módulo del campo eléctrico en las siguientes posiciones

x (mm)	$\left|{\vec {E}}|\right|$
−16
−8
+8
+16
+24
+28

Solución

Tres superficies esféricas concéntricas

Se tiene un sistema formado por tres superficies conductoras esféricas concéntricas, de radios $2b$, $3b$ y $6b$. Inicialmente la esfera interior almacena una carga $-Q_{0}$, la intermedia está aislada y descargada y la exterior almacena una carga $+Q_{0}$.

1. Calcule el potencial al que se encuentra cada esfera.
2. Halle el campo eléctrico en los puntos del eje OZ siguientes: $z=0$, $z=5b/2$, $z=4b$ y $z=8b$, siendo el origen de coordenadas el centro de las esferas.
3. Halle la energía almacenada en el sistema

En un momento dado se cierra el interruptor que conecta la esfera intermedia a tierra. Una vez que se alcanza de nuevo el equilibrio electrostático:

4. ¿Cuáles son las nuevas cargas y potenciales de los tres conductores?
5. ¿Cuánto vale ahora el campo eléctrico en los puntos del apartado 2?
6. ¿Cuánto vale la energía almacenada en el sistema?
7. ¿Cuánta energía se ha perdido en el proceso?

Solución