Condensador con dos capas de dieléctrico (GIOI)

Enunciado

Se tiene el condensador de la figura, formado por dos placas conductoras paralelas de sección $S$ y distancia entre placas $a$. Entre ellas la mitad del espacio está ocupado por un dieléctrico ideal de permitividad relativa 1.5 y la otra mitad por uno de permitividad 3.0, siendo la frontera paralela a las placas. La capacidad del condensador en vacío en ausencia de los dieléctricos es $C_{0}$.

1. ¿Cuánto vale la capacidad de este condensador?
2. Suponga que este condensador se conecta a una fuente de tensión $V_{0}$. Si $E_{1}$ es el campo en el material de permitividad 1.5 y $E_{2}$ en el de permitividad 3.0, ¿en cuál de las dos regiones es más intenso el campo eléctrico? ¿O son iguales?

Capacidad

La capacidad en vacío es

$C_{0}={\frac {\varepsilon _{0}S}{a}}$

La de cada una de las capas de dieléctrico vale

$C_{1}={\frac {1.5\varepsilon _{0}S}{a/2}}=3C_{0}\qquad \qquad C_{2}={\frac {3.0\varepsilon _{0}S}{a/2}}=6C_{0}$

y la de la asociación en serie

${\frac {1}{C_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{3C_{0}}}+{\frac {1}{6C_{0}}}={\frac {1}{2C_{0}}}\qquad \Rightarrow \qquad C_{\mathrm {eq} }=2C_{0}$

Comparación de campos eléctricos

El campo en cada una de las capas es uniforme e igual en módulo a

$E_{i}={\frac {\Delta V_{i}}{a/2}}$

La diferencia de potencial en cada capa la obtenemos con el circuito equivalente. Al tratarse de dos condensadores en serie, la carga en ellos es la misma. Por tanto

$\Delta V_{1}={\frac {Q}{C_{1}}}={\frac {C_{\mathrm {eq} }}{C_{1}}}\Delta V$

Esto nos da, en cada caso,

$\Delta V_{1}={\frac {2C_{0}}{3C_{0}}}\Delta V={\frac {2}{3}}\Delta V\qquad \qquad \Delta V_{2}={\frac {2C_{0}}{6C_{0}}}\Delta V={\frac {1}{3}}\Delta V$

La comparación entre los campos es entonces igual a

${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {\Delta V_{1}}{\Delta V_{2}}}=2$