Condensador que se gira 90°

Enunciado

Se construye un recipiente cilíndrico, con bases perfectamente conductoras de sección $S$, separadas una distancia $a$, y paredes perfectamente dieléctricas, de espesor despreciable. El interior se llena hasta la mitad con un líquido dieléctrico y permitividad $\varepsilon$. El resto se deja vacío.

El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posición, se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es $V_{0}$. Acto seguido se abre el circuito y, sin descargar las placas, el recipiente es girado $90^{\circ }$ alrededor de un eje horizontal. ¿Cuál es la nueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Cómo varía la energía almacenada?

Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.

    

Antes de la rotación

En el primer estado, al ser las bases horizontales, el líquido se coloca formando una capa que llena hasta la mitad el recipiente. El problema es entonces análogo al de un condensador de placas planas y paralelas formado por dos capas de dieléctrico. En este caso, la permitividad de una es $\varepsilon$, mientras que la otra es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon_0} (por estar vacía).

La capacidad en esta configuración es equivalente a la de una asociación en serie de dos condensadores de capacidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=\frac{\varepsilon{}S}{a/2}}      Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2=\frac{\varepsilon_0 S}{a/2}}

por ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a/2} el espesor de cada capa. La capacidad equivalente se obtiene de

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{a}{2\varepsilon{}S}+ \frac{a}{2\varepsilon_0 S}=\frac{a(\varepsilon_0+\varepsilon{})}{2\varepsilon_0\varepsilon{}S}}  ⇒  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C=\frac{2\varepsilon_0\varepsilon{}S}{a(\varepsilon{}+\varepsilon_0)}}

Al establecer una diferencia de potencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_0} entre las placas se almacena una carga en el condensador

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q=\frac{2\varepsilon{}\varepsilon_0 SV_0}{a(\varepsilon{}+\varepsilon_0)}}

Después de la rotación

Cuando se gira el recipiente, el líquido sigue llenado hasta la mitad su interior, pero ahora su superficie es ortogonal a las bases. Tenemos entonces

un condensador formado por una asociación en paralelo de otros dos, siendo la capacidad de cada uno

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C'_1=\frac{\varepsilon{} (S/2)}{a}}   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C'_2=\frac{\varepsilon_0 (S/2)}{a}}

siendo ahora $S/2$ la sección de cada condensador y $a$ su espesor. La capacidad total es

$C'=C'_{1}+C'_{2}={\frac {(\varepsilon {}+\varepsilon _{0})S}{2a}}$

Al efectuar la rotación, esta se hace con las placas cargadas, siendo el valor de la carga acumulada el obtenido en la configuración anterior.

Esta nueva capacidad es mayor que la anterior, ya que

${\frac {C}{C'}}={\frac {4\varepsilon _{0}\varepsilon {}}{(\varepsilon _{0}+\varepsilon {})^{2}}}=={\frac {(\varepsilon _{0}+\varepsilon {})^{2}-(\varepsilon {}-\varepsilon _{0})^{2}}{(\varepsilon _{0}+\varepsilon {})^{2}}}=1-\left({\frac {\varepsilon {}-\varepsilon _{0}}{\varepsilon {}+\varepsilon _{0}}}\right)^{2}$

y el segundo término es siempre positivo, por lo que $C/C'<1$.

En este caso, la nueva diferencia de potencial entre las placas es

$V'={\frac {Q}{C'}}={\frac {CV_{0}}{C'}}={\frac {4\varepsilon _{0}\varepsilon {}}{(\varepsilon _{0}+\varepsilon {})^{2}}}V_{0}$

Esta nueva diferencia de potencial es siempre inferior a la original.

Este resultado implica que al rotar el recipiente se pierde energía. La energía inicial vale

$U_{\mathrm {e} i}={\frac {1}{2}}CV_{0}^{2}$

y la final

$U_{\mathrm {e} f}={\frac {1}{2}}C'V'^{2}={\frac {1}{2}}C'\left({\frac {CV_{0}}{C'}}\right)^{2}={\frac {C^{2}}{2C'}}V_{0}^{2}$

La variación de la energía en el proceso es

$\Delta U_{\mathrm {e} }={\frac {C}{2}}\left({\frac {C}{C'}}-1\right)V_{0}^{2}=-\left({\frac {\varepsilon {}-\varepsilon _{0}}{\varepsilon {}+\varepsilon _{0}}}\right)^{2}{\frac {C}{2}}V_{0}^{2}$

La energía perdida puede haberse disipado en forma de calor y haberse absorbido por el agente mecánico que efectúa la rotación del sistema.