Acumulación de carga en un conductor (GIOI)

Enunciado

Sobre una lámina metálica de cobre, de 1m² de área y 1cm de espesor se aplica perpendicularmente un campo eléctrico de 1V/m de intensidad. Calcule cuantos electrones se acumulan en la cara del conductor cargada negativamente. ¿Qué proporción suponen estos electrones respecto al total de electrones disponibles, que en el caso del cobre, es 1 por átomo?

Solución

El campo se anula en el interior de la lámina porque en sus superficies se acumulan densidades de carga que producen un campo eléctrico opuesto al aplicado. De acuerdo con lo visto en el problema “Campo de dos planos paralelos”, estas densidades de carga son uniformes y de valor

$\sigma _{s}=\varepsilon _{0}E_{0}\,$

lo que en este caso nos da

$\sigma _{s}=8.85\times 10^{-12}\,{\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {m} ^{2}}}$

y una carga total en una cara de la lámina (haciendo la aproximación de que el campo es uniforme en todas partes y no hay efectos de borde)

$Q=\sigma _{s}S=8.85\times 10^{-12}\mathrm {C}$

En términos de electrones, tenemos el número

$N={\frac {Q}{e}}={\frac {8.85\times 10^{-12}\mathrm {C} }{1.60\times 10^{-19}\mathrm {C} }}=5.53\times 10^{7}$

¿Cuánto es esto respecto al total de electrones?

El número de electrones disponibles es igual al número de átomos de cobre en la lámina, ya que cada uno cede un electrón. A su vez, el número de átomos lo obtenemos del número de moles y éste de la masa de la lámina y la densidad del cobre.

Para el [1]

$\rho =8960\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}\qquad \qquad P_{m}=63.5\,\mathrm {g} {\mathrm {mol} }$

lo que nos da la masa

$v=Sh=1\,\mathrm {m} ^{2}\times 1\,\mathrm {cm} =0.01\,\mathrm {m} ^{3}\qquad \qquad m=\rho v=89.60\,\mathrm {kg}$

y el número de moles y de átomos

$n={\frac {m}{P_{m}}}={\frac {89.6\,\mathrm {kg} }{63.6\,\mathrm {g} /\mathrm {mol} }}\times {\frac {1000\,\mathrm {g} }{1\,\mathrm {kg} }}=1370\,\mathrm {mol} \qquad \qquad N_{a}=nN_{A}=8.23\times 10^{2}6\,\mathrm {atomos}$

Esto da que la proporción entre electrones en la superficie y el total de electrones disponibles

$f={\frac {N_{e}}{N_{a}}}=6.7\times 10^{-20}$

o dicho de otra forma, que solo se va 1 de cada 15.000.000.000.000.000.000.000.000.000 electrones a la superficie (unos 40000 por cada mol). Por eso, siempre hay electrones disponibles para alcanzar el equilibrio electrostático y nunca llega a ocurrir que se agoten las cargas disponibles.