Enunciado
Sobre una lámina metálica de cobre, de 1 m² de área y 1 cm de espesor se aplica perpendicularmente un campo eléctrico de 1 V/m de intensidad. Calcule cuantos electrones se acumulan en la cara del conductor cargada negativamente. ¿Qué proporción suponen estos electrones respecto al total de electrones disponibles, que en el caso del cobre, es 1 por átomo?
Solución
El campo se anula en el interior de la lámina porque en sus superficies se acumulan densidades de carga que producen un campo eléctrico opuesto al aplicado. De acuerdo con lo visto en el problema “Campo de dos planos paralelos”, estas densidades de carga son uniformes y de valor
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma_s=\varepsilon_0E_0\,}
lo que en este caso nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma_s=8.85\times 10^{-12}\,\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{m}^2}}
y una carga total en una cara de la lámina (haciendo la aproximación de que el campo es uniforme en todas partes y no hay efectos de borde)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q=\sigma_s S = 8.85\times 10^{-12}\mathrm{C}}
En términos de electrones, tenemos el número
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N =\frac{Q}{e}=\frac{8.85\times 10^{-12}\mathrm{C}}{1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}}=5.53\times 10^7}
¿Cuánto es esto respecto al total de electrones?
El número de electrones disponibles es igual al número de átomos de cobre en la lámina, ya que cada uno cede un electrón. A su vez, el número de átomos lo obtenemos del número de moles y éste de la masa de la lámina y la densidad del cobre.
Para el cobre ([1])
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho= 8960\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\qquad\qquad P_m=63.5\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}}}
lo que nos da la masa
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = S h = 1\,\mathrm{m}^2\times 1\,\mathrm{cm}=0.01\,\mathrm{m}^3\qquad\qquad m =\rho v= 89.60\,\mathrm{kg}}
y el número de moles y de átomos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n = \frac{m}{P_m}=\frac{89.6\,\mathrm{kg}}{63.6\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}}\times\frac{1000\,\mathrm{g}}{1\,\mathrm{kg}}=1370\,\mathrm{mol}\qquad\qquad N_a=n N_A=8.23\times 10^{26}\,\mathrm{atomos}}
Esto da que la proporción entre electrones en la superficie y el total de electrones disponibles
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f=\frac{N_e}{N_a}=6.7\times 10^{-20}}
o dicho de otra forma, que solo se va 1 de cada 15.000.000.000.000.000.000.000.000.000 electrones a la superficie (unos 40000 por cada mol). Por eso, siempre hay electrones disponibles para alcanzar el equilibrio electrostático y nunca llega a ocurrir que se agoten las cargas disponibles.
