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Cuatro conductores paralelos

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema de conductores en forma de bloques prismáticos cuadrados de lado L=20\,\mathrm{cm} de lado y grosor b=1\,\mathrm{cm}. Estos bloques se sitúan paralelamente de forma que entre el primero y el segundo hay un espacio 3a; entre el 2º y el 3º hay 2a y entre el 3º y el 4º hay a, siendo a=1\,\mathrm{mm}. El espacio entre los conductores está lleno de un dieléctrico ideal de permitividad \varepsilon=30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}.

El conductor 1 y el 4 se encuentran permanentemente a tierra.

Archivo:fuente-cuatro-bloques.png

Inicialmente el interruptor se encuentra en la posición A, de forma que el conductor 2 se encuentra a un potencial V_0=125\,\mathrm{V}$, mientras que el 3 está aislado y descargado.

  1. Calcule el potencial del conductor 3, así como las cargas netas en cada uno de los cuatro conductores.
  2. Halle el campo eléctrico en cada uno de los espacios entre conductores, y las cargas almacenadas en cada una de las superficies conductoras
  3. Suponga que bruscamente se pasa el interruptor de la posición A a la B, conectando los conductores 2 y 3, ¿cómo quedan en ese caso las cargas y potenciales de los diferentes conductores, así como las cargas de cada una de las superficies?
  4. Halle la energía almacenada en el sistema antes y después de mover el interruptor.

¿Cuánta energía se disipa en el proceso?, ¿cómo puede haber desaparecido esta energía?

2 Potenciales y cargas iniciales

La forma más sencilla de resolver este problema es mediante un circuito equivalente.

Para construir este circuito sustituimos cada conductor por un nodo. Cada par de placas enfrentadas forma un condensador plano, de capacidad

C=\frac{\varepsilon S}{d}

siendo

S=L^2 =(0.2\,\mathrm{m})^2 = 0.04\,\mathrm{m}^2

la sección de las placas y d la distancia entre placas, que es distinta en cada caso. Las capacidades de los tres condensadores son

a. Entre el conductor 1 y el 2
C_a=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.003\,\mathrm{m}}=400\,\mathrm{pF}
b. Entre el 2 y el 3
C_b=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.002\,\mathrm{m}}=600\,\mathrm{pF}
c. Entre el 3 y el 4
C_c=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.001\,\mathrm{m}}=1200\,\mathrm{pF}

El circuito equivalente al sistema sería entonces el siguiente:

Archivo:circuito-cuatro-bloques-01.png

A partir de este circuito podemos construir un sistema de ecuaciones cuya solución nos de las cargas y potenciales que desconocemos, a partir de los datos que sí tenemos

V_1=V_4=0\,\mathrm{V}\qquad V_2=125\,\mathrm{V}\qquad Q_3=0\,\mathrm{nC}

La carga de cada conductor equivale a la suma de las de las placas conectadas al nodo correspondiente.

Archivo:circuito-cuatro-bloques-02.png

Por tanto

\begin{array}{rcl}
Q_1 & = & C_a(V_1-V_2) \\
Q_2 & = & C_a(V_2-V_1) + C_b(V_2-V_3) \\
Q_3 & = & C_b(V_3-V_2)+C_c(V_3-V_4) \\
Q_4 & = & C_c(V_4-V_3)
\end{array}

Sustituimos los datos y los valores de las capacidades y queda el sistema (con la carga en nC y el potencial en V)

\begin{array}{rcl}
Q_1 & = & 0.4(0-125)= -50 \\
Q_2 & = & 0.4(125-0) + 0.6(125-V_3) = 125-0.6V_3\\
0 & = & 0.6(V_3-125)+1.2(V_3-0)= 1.8V_3-75 \\
Q_4 & = & 1.2(0-V_3)=-1.2V_3
\end{array}

e aquí es inmediato el valor de Q1

Q_1=-50\,\mathrm{nC}

y el de V3

V_3=\frac{75}{1.8}\,\mathrm{V}=41.7\,\mathrm{V}

Conocido este dato hallamos Q4

Q_4 = -1.2\times 41.7\,\mathrm{nC}=-50\,\mathrm{nC}

y Q2

Q_2= 125-0.6\times 41.7 = 100\,\mathrm{nC}

Tabulamos todos los resultados

Conductor Q (nC) V (V)
1 -50 0
2 100 125
3 0 41.7
4 -50 0

Una forma alternativa de llegar a este resultado es reduciendo el circuito equivalente. Sin cambiar las conexiones, podemos dibujarlo como

Archivo:circuito-cuatro-bloques-03.png

Dado que el conductor 3 está descargado, los condensadores b y c están en serie, cumpliendo su capacidad equivalente

\frac{1}{C_{bc}}=\frac{1}{C_b}+\frac{1}{C_c}=\frac{1}{600\,\mathrm{pF}}+\frac{1}{1200\,\mathrm{pF}}=\frac{1}{400\,\mathrm{pF}}\qquad\Rightarrow\qquad C_{bc}=400\,\mathrm{pF}

Este condensador está en paralelo con el a, siendo la capacidad equivalente de la asociación completa

C_{abc}=C_a+C_{bc}=800\,\mathrm{pF}

Esto nos da la carga del conductor 2, que corresponde a la placa positiva de este conductor equivalente

Q_2=C_{abc}(V_2-0) = 800\,\mathrm{pF}\times 125\,\mathrm{V}=100\,\mathrm{nC}

El conductor 1 corresponde a la placa negativa del condensador a, por lo que tiene una carga

Q_1=C_a(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}

Análogamente, el conductar 4 es la placa negativa del condensador bc

Q_4=C_{bc}(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}

Ya tenemos la carga de los cuatro conductores y el potencial de tres de ellos. Queda hallar el potencial del conductor 3. Éste lo sacamos de que este conductor es la placa positiva del condensador c

Q_4=C_c(V_4-V_3) \qquad\Rightarrow\qquad -50\,\mathrm{nC}=1200\,\mathrm{pF}(0-V_3)\qquad\Rightarrow\qquad V_3 = 41.7\,\mathrm{V}

3 Campo y cargas en cada superficie

3.1 Cargas de cada superficie

En los cálculos anterios hemos obtenido la carga neta de cada conductor, pero podemos determinar la carga de cada superficie observando que cada una es una placa de un condensador plano. A partir de la diferencia de potencial entre placas podemos hallar estas cargas en todos los casos como

Qi = Cij(ViVj)

siendo Qi la carga de la placa i, Cij la capacidad del condensador que ésta forma con la placa j y (ViVj) la diferencia de potencial entre las dos. No obstante, existe más de una forma de hallar estas cargas, muchas veces por simples razonamientos de sumas y restas.

Conductor 1
Su placa exterior está descargada. La placa que da al condensador a almacena una carga
Q_{1a}=C_a(V_1-V_2)=-50\,\mathrm{nC}
que coincide por supuesto con la total del conductor.
Conductor 2
La cara que da al condensador a es opuesta a la que acabamos de hallar
Q_{2a}=-Q_{1a}=C_a(V_2-V_1)=+50\,\mathrm{nC}
y la que da al conductor b es el resto de la carga del condensador
Q_{2b}=Q_2-Q_{2a}=+50\,\mathrm{nC}
Conductor 3
La cara que da al condensador b es la opuesta a esta
Q_{3b}=-Q_{2b}=-50\,\mathrm{nC}
y puesto que el conductor 3 está descargado, la carga de la otra cara debe anular a ésta
Q_{3c}=Q_3-Q_{3b}=0-(-50\,\mathrm{nC})=+50\,\mathrm{nC}
Conductor 4
Su carga está toda en el condensador c y vale
Q_{4c}=-Q_{3c}=-50\,\mathrm{nC}

3.2 Campo entre las placas

En un condensador plano, el campo puede hallarse a partir de la diferencia de potencial entre las placas

\vec{E}=\frac{V_i-V_j}{d}\vec{u}_{ij}

siendo \vec{u}_{ij} el vector unitario que apunta en el sentido de la placa i a la j.

Alternativamente, puede hallarse el campo, que en un condensador plano es uniforme, por su relación con la carga superficial (también uniforme)

\vec{E}=\frac{\sigma_s}{\varepsilon}\vec{n}=\frac{Q_i}{\varepsilon L^2}\vec{u}_{ij}

Por cualquiera de los dos métodos obtenemos los siguientes resultados:

Entre el conductor 1 y el 2
\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{3a}\vec{\imath}=-\frac{125\,\mathrm{V}}{0.003\,\mathrm{m}}\vec{\imath}=-41.7\vec{\imath}\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}
Entre el 2 y el 3
\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{2a}\vec{\imath}=\frac{(125-41.7)\,\mathrm{V}}{0.002\,\mathrm{m}}\vec{\imath}=+41.7\vec{\imath}\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}
Entre el 3 y el 4
\vec{E}_c=\frac{V_3-V_4}{a}\vec{\imath}=\frac{41.7\,\mathrm{V}}{0.001\,\mathrm{m}}\vec{\imath}=+41.7\vec{\imath}\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}

Aunque el módulo es el mismo en las tres regiones, el sentido no lo es, ya que el campo siempre va de más a menos potencial, por lo que en la región a va de derecha a izquierda y en las otras dos de izquierda a derecha.

4 Estado tras la conexión

Cuando el interruptor pasa de la posición A a la B, deja de estar conectado a la fuente de tensión, por lo que su potencial deja de estar fijado y pasa a tener un valor desconocido por ahora.

Por otro lado, el conductor 2 se une al 3, lo que provoca que se produzca un trasvase de carga de uno al otro, debido a la diferencia de potencial entre ellos. Este flujo de carga continúa hasta que se igualan los potenciales de los dos conductores y vuelve a alcanzarse el equilibrio electrostático. Dado que se ha acumulado carga en el conductor 3, tampoco concemos por ahora el valor de la carga de este conductor.

Con estas dos nuevas incógnitas, nuestro sistema de ecuaciones queda, midiendo la carga en nC y el potencial en V,

\begin{array}{rcl}
Q_1 & = & 0.4(0-V_2)=-0.4V_2 \\
Q_2 & = & 0.4V_2 + 0.6(V_2-V_3) = V_2-0.6V_3\\
Q_3 & = & 0.6(V_3-V_2)+1.2(V_3-0)= 1.8V_3-0.6V_2 \\
Q_4 & = & 1.2(0-V_3)=-1.2V_3
\end{array}

A estas ecuaciones hay que añadir que los conductores 2 y 3 están al mismo potencial

V_2 = V_3\,

y que la carga que se redistribuye entre ellos es la misma que había en el conductor 2 antes de la conexión

Q_2+Q_3=100\,\mathrm{nC}

Sumando la segunda y tercera ecuación del sistema de 4 ecuaciones queda

100 = Q_2+Q_3=0.4V_2+1.2V_3= 1.6V_2\,

de donde

V_2=V_3 = 62.5\,\mathrm{V}

Con esto el cálculo de las cargas es inmediato. Sustituyendo los voltajes llegamos a

Q_1= -25\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2=+25\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3=+75\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_4=-75\,\mathrm{nC}

Tabulando los resultados:

Conductor Q (nC) V (V)
1 -25 0
2 25 62.5
3 75 62.5
4 -75 0

Alternativamente, puede emplearse el circuito equivalente.

Archivo:circuito-cuatro-bloques-04.png

Conectar los conductores 2 y 3 equivale a cortocircuitar el condensador b, ya que sus dos placas están unidas por un cable. En ese caso, el condensador b es como si no estuviera y el sistema se reduce a dos condensadores en paralelo, siendo la capacidad equivalente

C_{ac}=C_a+C_c = 400\,\mathrm{pF}+1200\,\mathrm{pF}=1600\,\mathrm{pF}

De aquí obtenemos el potencial del conductor 2 (y del 3) ya que conocemos su carga

V_2=V_3=\frac{100\,\mathrm{nC}}{1600\,\mathrm{pF}}=62.5\,\mathrm{V}

La carga del conductor 1 es la negativa del conductor abc}

Q_1=C_a(0-V_2) = -0.4\times 62.5=-25\,\mathrm{nC}

y la del conductor 2 es la positiva de este mismo condensador

Q_2=-Q_1 = +25\,\mathrm{nC}

Análogamente, la carga del conductor 4 es la negativa del condensador c

Q_4=C_c(0-V_3) = -1.2\times 62.5=-75\,\mathrm{nC}

y la del 3 la positiva de este mismo condensador

Q_3=-Q_4=+75\,\mathrm{nC}

5 Balance energético

La energía de un sistema de conductores viene dada por el sumatorio

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\sum_i Q_i V_i

o, alternativamente, dado el sistema de condensadores equivalente

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\sum_k C_k(\Delta V_k)^2

En nuestro caso esto da

Antes de la conexión
U_{\mathrm{e}i}=\frac{1}{2}Q_1\cdot 0 + \frac{1}{2}(100\,\mathrm{nC})(125\,\mathrm{V})+\frac{1}{2}0\cdot V_3+\frac{1}{2}Q_4\cdot 0 = 6.25\,\mu\mathrm{J}
Después de la conexión
U_{\mathrm{e}f}=3.125\,\mu\mathrm{J}
Energía disipada
Esta es la diferencia entre las dos cantidades
\Delta U = -3.125\,\mu\mathrm{J}

La diferencia es negativa ya que se pierde energía. Esta energía disipada se va por efecto Joule en la resistencia del cable de conexión.

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