Sistema con tres conductores esféricos

Enunciado

En una esfera metálica de radio 36 mm se han hecho dos cavidades, también esféricas, de radio 18 mm. Concéntricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metálicas de radio 9 mm. No hay más conductores en el sistema. Suponga que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada; una de las esferas interiores se encuentra a un potencial 8 kV y la otra se encuentra a tierra.

1. ¿Cuál es la carga en cada conductor? ¿Y el potencial?
2. Halle la energía almacenada en el sistema.
3. Si tomamos como eje OX el que pasa por los tres centros y origen O el centro del sistema, calcule el módulo del campo eléctrico en las siguientes posiciones

x (mm)	$\left|{\vec {E}}|\right|$
−16
−8
+8
+16
+24
+28

Cargas y potenciales

Mediante un circuito equivalente

La forma más sencilla de determinar las cargas y potenciales de cada conductor es sustituyendo el sistema por un circuito equivalente.

En este circuito figuran tres condensadores:

• Uno entre la esfera conectada a la fuente (conductor “1”) y la esfera exterior (conductor “2”). Este es un condensador esférico de capacidad

$C_{12}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}ab}{b-a}}={\frac {9\times 10^{-3}\times 18\times 10^{-3}}{9\times 10^{-9}\times 9\times 10^{-3}}}\,\mathrm {F} =2\,\mathrm {pF}$

• Otro entre la esfera a tierra (conductor “3”) y la esfera exterior. La capacidad de este condensador es la misma del que acabamos de calcular

$C_{23}=C_{12}=2\,\mathrm {pF}$

• Un tercero entre la esfera exterior y el infinito. Este tiene por capacidad la de una esfera

$C_{20}=4\pi \varepsilon _{0}c={\frac {36\times 10^{-3}}{9\times 10^{9}}}\,\mathrm {F} =4\mathrm {pF}$

Con estas capacidades, las cargas de cada conductor se relacionan con los potenciales por las relaciones

${\begin{array}{rcl}Q_{1}&=&C_{12}(V_{1}-V_{2})=2V_{1}-2V_{2}\\Q_{2}&=&C_{12}(V_{2}-V_{1})+C_{23}(V_{2}-V_{3})+C_{20}V_{2}=-2V_{1}+8V_{2}-2V_{3}\\Q_{3}&=&C_{23}(V_{3}-V_{2})=2V_{3}-2V_{2}\end{array}}$

donde medimos la capacidad en picofaradios, el voltaje en kilovoltios y la carga en nanoculombios.

Sabemos que el conductor 1 está a 8kV, el 3 a tierra y el 2 está aislado y descargado

$V_{1}=8\,\mathrm {kV} \qquad \qquad Q_{2}=0\qquad \qquad V_{3}=0$

que al sustituirlo en las relaciones anteriores nos da

${\begin{array}{rcl}Q_{1}&=&16-2V_{2}\\0&=&-16+8V_{2}\\Q_{3}&=&-2V_{2}\end{array}}$

de donde obtenemos que

$V_{2}=2\,\mathrm {kV} \qquad \qquad Q_{1}=12\,\mathrm {nC} \qquad \qquad Q_{3}=-4\,\mathrm {nC}$

A partir de distribuciones de carga

Alternativamente, podemos resolver el problema haciendo uso de que por las simetrías del sistema, en cada una de las superficies esféricas la densidad de carga es uniforme. A partir de aquí, podemos hallar el potencial de cada conductor en función de las cargas del sistema.

El potencial debido a una superficie esférica de radio $R$ uniformemente cargada con una carga total $Q$ tiene la forma general

$V(r)={\begin{cases}{\dfrac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}&r>R\\&\\{\dfrac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}R}}&r\leq R\end{cases}}$

En este caso, tenemos las siguientes 5 superficies cargadas:

• Una superficie de radio $a=9\,\mathrm {mm}$, que es la del conductor 1, y que tiene una carga $Q_{1}$ (desconocida por ahora).
• Una superficie de radio $a=9\,\mathrm {mm}$, que es la del conductor 3, y que tiene una carga $Q_{3}$ (también desconocida por ahora).
• Una superficie de radio $b=18\,\mathrm {mm}$, que es la de la pared del hueco que envuelve al conductor 1, y que, por el teorema de Faraday, tiene una carga $-Q_{1}$.
• Una superficie de radio $b=18\,\mathrm {mm}$, que es la de la pared del hueco que envuelve al conductor 3, y que, por el teorema de Faraday, tiene una carga $-Q_{3}$.
• Una superficie de radio $c=36\,\mathrm {mm}$, que es la de superficie exterior de la esfera grande. Puesto que el conductor 2 está descargado, la suma de la carga de esta superficie con las de las paredes de los huecos debe dar 0, por lo que

$Q_{c}+(-Q_{1})+(-Q_{3})=0\qquad \Rightarrow \qquad Q_{c}=Q_{1}+Q_{3}$

Para cada uno de los huecos, la suma del potencial debido a la esfera y a la pared del hueco se anulan mutuamente en el exterior.

Con todo ello tenemos:

El conductor 2 se encuentra al potencial que le da su superficie exterior cargada

$V_{2}={\frac {Q_{1}+Q_{3}}{4\pi \varepsilon _{0}c}}=9\times 10^{9}\,{\frac {Q_{1}+Q_{3}}{36\times 10^{-3}}}$

Si medimos las cargas en nanoculombios, las distancias en milímetros y el voltaje en kV, esta expresión se reduce a

$V_{2}={\frac {Q_{1}+Q_{2}}{4}}$

El conductor 1 se encuentra a un potencial que es la suma del debido a sí mismo, del debido a la pared del hueco y del debido a la superficie exterior

$V_{1}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{a}}+{\frac {-Q_{1}}{b}}+{\frac {Q_{1}+Q_{3}}{c}}\right)$

Empleando las mismas unidades, esto queda

$8=Q_{1}-{\frac {Q_{1}}{2}}+{\frac {Q_{1}+Q_{3}}{4}}={\frac {3Q_{1}+Q_{3}}{4}}$

Operando de la misma manera para el conductor 3 queda

$0=Q_{3}-{\frac {Q_{3}}{2}}+{\frac {Q_{1}+Q_{3}}{4}}={\frac {3Q_{3}+Q_{1}}{4}}$

De aquí obtenemos que

$Q_{1}=-3Q_{3}\qquad \Rightarrow \qquad Q_{3}=-4\,\mathrm {nC} \qquad \qquad Q_{1}=12\,\mathrm {nC}$

y una vez que tenemos las cargas, conocemos el potencial restante

$V_{2}={\frac {Q_{1}+Q_{3}}{4}}=2\,\mathrm {kV}$

Energía almacenada

Una vez que tenemos las cargas y potenciales, la energía es inmediata

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}Q_{1}V_{1}+{\frac {1}{2}}Q_{2}V_{2}+{\frac {1}{2}}Q_{3}V_{3}={\frac {1}{2}}(12\,\mathrm {nC} )(8\mathrm {kV} )+0+0=48\,\mu \mathrm {J}$

Campo eléctrico

Para el campo eléctrico debemos considerar el campo producido por superficies esféricas cargadas uniformemente. Este campo es nulo en el interior de la esfera y como el de una carga puntual si estamos en el exterior de ella.

De los puntos propuestos, hay varios que se encuentran en el interior de los conductores. En ellos el campo es automáticamente nulo. Estos son:

x (mm)	$\left|{\vec {E}}|\right|$
−16	0
−8
+8
+16	0
+24	0
+28

Los tres restantes se encuentran en el espacio entre una de las esferas pequeñas y la grande. En estas regiones el campo es igual al producido por una carga puntual equivalente a la carga de la esfera pequeña.

En x = -8mm estamos entre la esfera 1 y el conductor 2. El campo en esta región es el de una carga puntual de valor $Q_{1}$ situada en el centro de esta esfera. La distancia de este punto al centro de la esfera (situado en x = -18mm) es 10mm. Por tanto

$\left|{\vec {E}}\right|(x=-8\,\mathrm {mm} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q_{1}}{r^{2}}}=9\times 10^{9}{\frac {12\times 10^{-9}}{(10^{-2})^{2}}}\,{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {m} }}=1.08\,{\frac {\mathrm {MV} }{\mathrm {m} }}$

En x = +8mm la situación es idéntica salvo que la carga es la de la esfera 3, que tiene solo −4nC de carga. Por tanto, el campo es la tercera parte del anterior

$\left|{\vec {E}}\right|(x=+8\,\mathrm {mm} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q_{3}}{r^{2}}}=9\times 10^{9}{\frac {4\times 10^{-9}}{(10^{-2})^{2}}}\,{\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {m} }}=0.36\,{\frac {\mathrm {MV} }{\mathrm {m} }}$

En x = +28mm tenemos el punto simétrico de éste. Al estar situado a la misma distancia del centro de la esfera 3, el campo tiene la misma intensidad

$\left|{\vec {E}}\right|(x=+28\,\mathrm {mm} )=\left|{\vec {E}}\right|(x=+8\,\mathrm {mm} )=0.36\,{\frac {\mathrm {MV} }{\mathrm {m} }}$

Reuniendo todos los resultados en la tabla:

x (mm)	$\left|{\vec {E}}|\right|$ MV/m
−16	0
−8	1.08
+8	0.36
+16	0
+24	0
+28	0.36