Sistema de cuatro condensadores (GIOI)

Enunciado

El circuito de la figura está formado por cuatro condensadores cuyas capacidades son: $C_{1}=30\,\mathrm {nF}$, $C_{2}=60\,\mathrm {nF}$, $C_{3}=120\,\mathrm {nF}$ y $C_{4}=40\,\mathrm {nF}$. La diferencia de potencial entre A y B es de $12\,\mathrm {V}$.

1. ¿Qué diferencia de potencial mide un voltímetro situado entre los puntos D y E?
2. Calcule la carga de cada condensador y la diferencia de potencial entre las placas de cada uno, así como la energía almacenada en el sistema.
3. Suponga que, sin desconectar la fuente, se cierra el interruptor entre los puntos D y E. Tras la conexión, ¿cuánto valen las cargas, los voltajes y la energía almacenada?

Interruptor abierto

Con el interruptor abierto el sistema consiste en una asociación en paralelo de dos asociaciones en serie.

Cargas y potenciales

Los condensadores 1 y 2, de la rama superior, están en serie, por ello, la carga en ambos es la misma

$Q_{1}=Q_{2}\,$

mientras que las d.d.p. se suman

$V_{A}-V_{B}=(V_{A}-V_{D})+(V_{D}-V_{B})={\frac {Q_{1}}{C_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{C_{2}}}=Q_{1}\left({\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}\right)$

poniendo números obtenemos para la inversa de la capacidad equivalente

${\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}={\frac {1}{30\,\mathrm {nF} }}+{\frac {1}{60\,\mathrm {nF} }}={\frac {1}{20\,\mathrm {nF} }}$

lo que nos da la carga de ambos condensadores

$Q_{1}=Q_{2}=C_{12}(V_{A}-V_{B})=20\,\mathrm {nF} \cdot 12\,\mathrm {V} =240\,\mathrm {nC}$

y la diferencia de potencial en cada condensador

$\Delta V_{1}={\frac {Q_{1}}{C_{1}}}={\frac {240}{30}}\,\mathrm {V} =8\,\mathrm {V} \qquad \qquad \Delta V_{2}={\frac {Q_{2}}{C_{2}}}={\frac {240}{60}}\,\mathrm {V} =4\,\mathrm {V}$

De la misma manera, operamos para la rama inferior. De nuevo, las cargas son iguales

$Q_{3}=Q_{4}\,$

y las d.d.p. se suman

$V_{A}-V_{B}=(V_{A}-V_{E})+(V_{E}-V_{B})={\frac {Q_{3}}{C_{3}}}+{\frac {Q_{4}}{C_{4}}}=Q_{3}\left({\frac {1}{C_{3}}}+{\frac {1}{C_{4}}}\right)$

siendo ahora la inversa de la capacidad equivalente

${\frac {1}{C_{3}}}+{\frac {1}{C_{4}}}={\frac {1}{120\,\mathrm {nF} }}+{\frac {1}{40\,\mathrm {nF} }}={\frac {1}{30\,\mathrm {nF} }}$

lo que nos da la carga de ambos condensadores

$Q_{3}=Q_{4}=C_{34}(V_{A}-V_{B})=30\,\mathrm {nF} \cdot 12\,\mathrm {V} =360\,\mathrm {nC}$

y la diferencia de potencial en cada condensador

$\Delta V_{3}={\frac {Q_{3}}{C_{3}}}={\frac {360}{120}}\,\mathrm {V} =3\,\mathrm {V} \qquad \qquad \Delta V_{4}={\frac {Q_{4}}{C_{4}}}={\frac {360}{40}}\,\mathrm {V} =9\,\mathrm {V}$

Lectura del voltímetro

Una vez que tenemos las diferencias de potencial en cada condensador, calculamos la d.d.p. en la rama central

$V_{D}-V_{E}=(V_{D}-V_{B})-(V_{E}-V_{B})=4\,\mathrm {V} -9\,\mathrm {V} =-5\,\mathrm {V}$

Energía almacenada

Podemos calcular la energía almacenada sumando la de los cuatro condensadores

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}Q_{1}\,\Delta V_{1}+{\frac {1}{2}}Q_{2}\,\Delta V_{2}+{\frac {1}{2}}Q_{3}\,\Delta V_{3}+{\frac {1}{2}}Q_{4}\,\Delta V_{4}$

lo que nos da

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}240\cdot 8+{\frac {1}{2}}240\cdot 4+{\frac {1}{2}}360\cdot 3+{\frac {1}{2}}360\cdot 9=3600\,\mathrm {nJ} =3.6\,\mu \mathrm {J}$

También podemos llegar a este resultado considerando el sistema como un solo condensador de capacidad equivalente la suma de la de las dos ramas

$C_{\mathrm {eq} }=20\,\mathrm {nF} +30\,\mathrm {nF} =50\,\mathrm {nF}$

lo que da

$U_{e}={\frac {1}{2}}50\cdot (12)^{2}=3.6\,\mu \mathrm {J}$

Interruptor cerrado

Cuando se cierra el interruptor se produce una redistribución de carga entre los condensadores, ya que ahora los nodos D y E se ponen al mismo potencial. Ahora el sistema se convierte en una asociación en serie de dos asociaciones en paralelo.

Cargas y potenciales

Aunque se redistribuye la carga, su valor total en el conductor central (unión de D y E) sigue siendo nula, ya que $0+0=0$. Esto nos da

$-Q_{1}-Q_{3}+Q_{2}+Q_{4}=0\qquad \Rightarrow \qquad Q_{1}+Q_{3}=Q_{2}+Q_{4}$

Por otro lado, los condensadores 1 y 3 ahora están en paralelo y lo mismo pasa con el 2 y el 4

$\Delta V_{1}=\Delta V_{3}\qquad \qquad \Delta V_{2}=\Delta V_{4}$

Llevando esto a la relación anterior nos queda

$(C_{1}+C_{3})\Delta V_{1}=(C_{2}+C_{4})\Delta V_{4}$

Sustituimos los valores numéricos

$(30+120)\Delta V_{1}=(60+40)\Delta V_{2}\qquad \Rightarrow \qquad 3\Delta V_{1}=2\Delta V_{2}$

Por otro lado, la suma de las d.d.p. en 1 y 2 nos da la d.d.p. total

$\Delta V_{1}+\Delta V_{2}=V_{A}-V_{B}=12\,\mathrm {V}$

lo que resulta en

$\Delta V_{1}=\Delta V_{3}={\frac {2}{5}}12\,\mathrm {V} =4.8\,\mathrm {V} \qquad \qquad \Delta V_{2}=\Delta V_{4}={\frac {3}{5}}12\,\mathrm {V} =7.2\,\mathrm {V}$

Las cargas en cada condensador valen ahora

$Q_{1}=C_{1}\,\Delta V_{1}=30\cdot 4.8=144\,\mathrm {nC} \qquad \qquad Q_{2}=C_{2}\,\Delta V_{2}=60\cdot 7.2=432\,\mathrm {nC}$ $Q_{3}=C_{3}\,\Delta V_{3}=120\cdot 4.8=576\,\mathrm {nC} \qquad \qquad Q_{4}=C_{4}\,\Delta V_{4}=40\cdot 7.2=288\,\mathrm {nC}$

Energía almacenada

La energía almacenada es diferente a la inicial

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\left(144\cdot 4.8+432\cdot 7.2+576\cdot 4.8+288\cdot 7.2)\,\mathrm{nJ}=4.32\,\mu\mathrm{J}}

Vemos que la energía almacenada ha aumentado en

$\Delta U_{\mathrm {e} }=U_{\mathrm {ef} }-U_{\mathrm {ei} }=(4.32-3.60)\,\mu \mathrm {J} =0.72\,\mu \mathrm {J}$

Podemos preguntarnos de dónde ha salido.

La carga en los condensadores 1 y 3, conectados al nodo A, unido a la fuente que fija el voltaje en 12V, ha aumentado. Con el interruptor abierto esta carga era

$Q_{1i}+Q_{3i}=(240+360)=600\,\mathrm {nC}$

y con el interruptor cerrado es

$Q_{1f}+Q_{3f}=(144+576)=720\,\mathrm {nC}$

Esto quiere decir que la fuente de tensión ha realizado un trabajo

$W_{\mathrm {gen} }=V_{0}\,\Delta Q=12(720-600)\,\mathrm {nJ} =1.44\,\mu \mathrm {J}$

Este trabajo no coincide con el incremento de la energía almacenada. Es el doble, la razón de que no coincidan es que también se genera calor en el proceso

$Q_{\mathrm {out} }=W_{\mathrm {in} }-\Delta U_{e}=0.72\,\mu \mathrm {J}$

Este calor se genera por la aparición de corrientes eléctricas durante el proceso de recombinación de la carga.