Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores y son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que . Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Solución

Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

Solución

Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

y del seno

en un triángulo de lados , y , y ángulos opuestos , y .

Solución

Construcción de una base

Dados los vectores

Construya una base ortonormal dextrógira , tal que

  1. El primer vector, , vaya en la dirección y sentido de
  2. El segundo, , esté contenido en el plano definido por y y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de ) que el vector .
  3. El tercero, , sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
  4. Supongamos un vector que en la base canónica se escribe
¿Cuál es su expresión en la base

Solución

Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

  1. ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
  2. ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
  3. Escriba como suma de dos vectores, uno paralelo a y otro ortogonal a él.

Solución

Ángulo entre diagonales

Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

Solución

Distancia de un vértice a un plano

Sea un cubo de arista b siendo O uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de O al plano definido por sus tres vértices contiguos?

Solución

Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido, no nulo, y uno que se desea determinar, . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por

Determine el valor de . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallarlo?

Solución

Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra , ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

Solución

Base vectorial girada

Considere la terna de vectores

  1. Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
  2. Halle la transformación inversa, es decir, exprese como combinación de .
  3. Para el caso particular en que , particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector en la nueva base.

Solución

Desplazamiento de un momento

El momento del vector respecto al origen de coordenadas vale .

  1. ¿Cuánto vale su momento respecto al punto A(-1,4,1)?
  2. ¿Cuál es la ecuación de la recta soporte de ?

Solución