Ángulo entre diagonales

Enunciado

Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

Solución

Construimos un sistema de referencia con origen en un vértice del cubo y con ejes los definidos por las tres aristas contiguas.

Una de las diagonales es la que va del origen al vértice opuesto

$O(0,0,0)\qquad A(b,b,b)\qquad \Rightarrow \qquad {\overrightarrow {AB}}=b{\vec {\imath }}+b{\vec {\jmath }}+b{\vec {k}}$

Otra de las diagonales es la que une otro par de vértices opuestos

$B(b,0,0)\qquad C(0,b,b)\qquad \Rightarrow \qquad {\overrightarrow {BC}}=-b{\vec {\imath }}+b{\vec {\jmath }}+b{\vec {k}}$

El coseno del ángulo que forman lo calculamos a partir del producto escalar

$\cos(\alpha )={\frac {{\overrightarrow {OA}}\times {\overrightarrow {BC}}}{\left|{\overrightarrow {OA}}\right|\left|{\overrightarrow {BC}}\right|}}$

El módulo de ambos vectores vale lo mismo

$\left|{\overrightarrow {OA}}\right|=\left|{\overrightarrow {BC}}\right|={\sqrt {b^{2}+b^{2}+b^{2}}}=b{\sqrt {3}}$

y su producto escalar vale

${\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}=b\cdot (-b)+b\cdot b+b\cdot b=b^{2}$

lo que nos da

$\cos(\alpha )={\frac {b^{2}}{3b^{2}}}=1/3$

y de aquí hallamos el ángulo

$\alpha =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)=1.23\,\mathrm {rad} =70.5\,^{\circ }$