Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Enunciado

Se tiene un vector conocido, no nulo, ${\vec {A}}$ y uno que se desea determinar, ${\vec {X}}$. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por ${\vec {A}}$

${\vec {A}}\cdot {\vec {X}}=k\qquad {\vec {A}}\times {\vec {X}}={\vec {C}}$

Determine el valor de ${\vec {X}}$. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar ${\vec {X}}$?

Solución

Ante este problema existe la tentación de “pasar uno de los vectores al otro lado dividiendo”. Algo así como

${\vec {X}}={\frac {k}{\vec {A}}}\qquad {\mbox{INCORRECTO}}$

Esta expresión no posee significado alguno, ya que no está definida la división por un vector.

La forma de hallar el vector incógnita es con ayuda del doble producto vectorial

$({\vec {A}}\times {\vec {X}})\times {\vec {A}}=({\vec {A}}\cdot {\vec {A}}){\vec {X}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {X}}){\vec {A}}$

Sustituyendo en esta expresión lo que conocemos

${\vec {C}}\times {\vec {A}}=|{\vec {A}}|^{2}{\vec {X}}-k{\vec {A}}$

y de aquí sí podemos despejar ${\vec {X}}$, por estar multiplicado por un escalar

${\vec {X}}={\frac {{\vec {C}}\times {\vec {A}}}{|{\vec {A}}|^{2}}}+{\frac {k{\vec {A}}}{|{\vec {A}}|^{2}}}$

Vemos que para llegar al resultado necesitamos los dos productos, el escalar y el vectorial y no nos basta uno de ellos.

Interpretación geométrica

Este resultado posee una interpretación geométrica sencilla. El vector ${\vec {X}}$ tendrá una componente paralela y una ortogonal al vector ${\vec {A}}$.

${\vec {X}}={\vec {X}}_{\parallel }+{\vec {X}}_{\perp }$

La parte paralela tendrá por módulo la proyección paralela a ${\vec {A}}$ y su dirección estará dada por la del unitario en la dirección de ${\vec {A}}$

${\vec {X}}_{\parallel }=X_{\parallel }{\vec {u}}_{A}={\frac {{\vec {X}}\cdot {\vec {A}}}{|{\vec {A}}|}}\,{\frac {\vec {A}}{|{\vec {A}}|}}={\frac {k{\vec {A}}}{|{\vec {A}}|^{2}}}$

esto es, el conocimiento del producto escalar nos da la parte paralela, pero no todo el vector.

La parte perpendicular la obtenemos a partir de ${\vec {C}}$, ya que

$X_{\perp }={\frac {|{\vec {X}}\times {\vec {A}}|}{|{\vec {A}}|}}={\frac {|{\vec {C}}|}{|{\vec {A}}|}}$

Por ello el conocimiento de solo el producto vectorial tampoco nos da todo el vector, ya que nos faltaría la parte paralela.