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Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un vector conocido, no nulo, \vec{A} y uno que se desea determinar, \vec{X}. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por \vec{A}

\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}

Determine el valor de \vec{X}. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar \vec{X}?

2 Solución

Ante este problema existe la tentación de “pasar uno de los vectores al otro lado dividiendo”. Algo así como

\vec{X}=\frac{k}{\vec{A}}\qquad \mbox{INCORRECTO}

Esta expresión no posee significado alguno, ya que no está definida la división por un vector.

La forma de hallar el vector incógnita es con ayuda del doble producto vectorial

(\vec{A}\times\vec{X})\times\vec{A} = (\vec{A}\cdot\vec{A})\vec{X}-(\vec{A}\cdot\vec{X})\vec{A}

Sustituyendo en esta expresión lo que conocemos

\vec{C}\times\vec{A}=|\vec{A}|^2\vec{X}-k\vec{A}

y de aquí sí podemos despejar \vec{X}, por estar multiplicado por un escalar

\vec{X}=\frac{\vec{C}\times\vec{A}}{|\vec{A}|^2}+\frac{k\vec{A}}{|\vec{A}|^2}

Vemos que para llegar al resultado necesitamos los dos productos, el escalar y el vectorial y no nos basta uno de ellos.

3 Interpretación geométrica

Este resultado posee una interpretación geométrica sencilla. El vector \vec{X} tendrá una componente paralela y una ortogonal al vector \vec{A}.

\vec{X}=\vec{X}_\parallel + \vec{X}_\perp

La parte paralela tendrá por módulo la proyección paralela a \vec{A} y su dirección estará dada por la del unitario en la dirección de \vec{A}

\vec{X}_\parallel = X_\parallel \vec{u}_A = \frac{\vec{X}\cdot\vec{A}}{|\vec{A}|}\,\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{k\vec{A}}{|\vec{A}|^2}

esto es, el conocimiento del producto escalar nos da la parte paralela, pero no todo el vector.

La parte perpendicular la obtenemos a partir de \vec{C}, ya que

X_\perp = \frac{|\vec{X}\times\vec{A}|}{|\vec{A}|} = \frac{|\vec{C}|}{|\vec{A}|}

Por ello el conocimiento de solo el producto vectorial tampoco nos da todo el vector, ya que nos faltaría la parte paralela.

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