Desplazamiento de un momento

Enunciado

El momento del vector ${\vec {v}}=2{\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$ respecto al origen de coordenadas vale ${\vec {M}}_{O}=8{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}-6{\vec {k}}$.

1. ¿Cuánto vale su momento respecto al punto A(-1,4,1)?
2. ¿Cuál es la ecuación de la recta soporte de ${\vec {v}}$?

Momento respecto a A

La fórmula para cambiar el centro de reducción de un momento es

${\vec {M}}_{A}={\vec {M}}_{O}+{\vec {v}}\times {\overrightarrow {OA}}$

que en este caso da

${\vec {M}}_{A}=8{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}-6{\vec {k}}+\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-2&1\\-1&4&1\end{matrix}}\right|=2{\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}$

Recta soporte

La recta soporte está formada por los puntos para los cuales el momento es nulo.

${\vec {0}}=8{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}-6{\vec {k}}+\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&-2&1\\x&y&z\end{matrix}}\right|=(8-y-2z){\vec {\imath }}+(5+x-2z){\vec {\jmath }}+(-6+2x+2y){\vec {k}}$

Separando por componentes y simplificando

$\left\{{\begin{array}{rcl}y+2z&=&8\\x-2z&=&-5\\x+y&=&3\end{array}}\right.$

Estras tres ecuaciones no son todas independientes. Si sumamos las dos primeras, obtenemos la tercera.

En forma paramétrica queda, haciendo z = λ

$\left\{{\begin{array}{rcl}x&=&-5+2\lambda \\y&=&8-2\lambda \\z&=&\lambda \end{array}}\right\}\qquad \qquad \Rightarrow \qquad {\vec {r}}=(-5{\vec {\imath }}+8{\vec {\jmath }})+\lambda (2{\vec {\imath }}-2{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})$

que es la ecuación de la recta que pasa por el punto P(−5,8,0) y lleva la dirección de ${\vec {v}}$