Coseno y seno de una diferencia

Enunciado

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

Coseno de una diferencia

Consideremos los dos vectores ${\vec {u}}_{1}$ y ${\vec {u}}_{2}$, ambos de módulo unidad, y que forman ángulos $\alpha$ y $\beta$ con el eje X, respectivamente.

El producto escalar de los dos vectores es igual a

${\vec {u}}_{1}\cdot {\vec {u}}_{2}=1\cdot 1\cdot \cos(\beta -\alpha )$

Por otro lado, las componentes de estos vectores en la base canónica son

${\vec {u}}_{1}=\cos(\alpha ){\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {\jmath }}$    ${\vec {u}}_{2}=\cos(\beta ){\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} (\beta ){\vec {\jmath }}$

de forma que su producto escalar también se puede calcular como la suma de los productos de las componentes

${\vec {u}}_{1}\cdot {\vec {u}}_{2}=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\,\mathrm {sen} \,(\alpha )\,\mathrm {sen} \,(\beta )$

Igualando las dos expresiones para el producto escalar

$\cos(\beta -\alpha )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\,\mathrm {sen} \,(\alpha )\,\mathrm {sen} \,(\beta )$

Seno de una diferencia

Si en vez del producto escalar hallamos el producto vectorial, tenemos que el resultado es un vector en la dirección normal al plano (dada por el unitario ${\vec {k}}$) y de módulo el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman

${\vec {u}}_{1}\times {\vec {u}}_{2}=1\cdot 1\cdot \,\mathrm {sen} \,(\beta -\alpha ){\vec {k}}$

Por otro lado, operando con las componentes cartesianas en la base canónica

${\vec {u}}_{1}\times {\vec {u}}_{2}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\cos(\alpha )&\mathrm {sen} (\alpha )&0\\\cos(\beta )&\mathrm {sen} (\beta )&0\end{matrix}}\right|=\left(\cos(\alpha )\,\mathrm {sen} \,(\beta )-\,\mathrm {sen} \,(\alpha )\cos(\beta )\right){\vec {k}}$

Igualando las dos expresiones obtenemos

$\mathrm {sen} \,(\beta -\alpha )=\cos(\alpha )\,\mathrm {sen} \,(\beta )-\,\mathrm {sen} \,(\alpha )\cos(\beta )$

que es la fórmula para el seno de una diferencia.