Base vectorial girada

Enunciado

Considere la terna de vectores

{\vec {u}}_{1}=\cos(\theta ){\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}\qquad {\vec {u}}_{2}=-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}\qquad {\vec {u}}_{3}={\vec {k}}

Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
Halle la transformación inversa, es decir, exprese $\{{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }},{\vec {k}}\}$ como combinación de $\{{\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2},{\vec {u}}_{3}\}$ .
Para el caso particular en que $\mathrm {tg} (\theta )=3/4$ , particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector ${\vec {F}}=10{\vec {\imath }}-15{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}}$ en la nueva base.

Base ortonormal dextrógira

Base ortonormal

Para demostrar que se tra de una base ortonormal hay que probar que son unitarios y ortogonales entre sí, es decir

{\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {u}}_{k}={\begin{cases}1&i=k\\0&i\neq k\end{cases}}

Calculamos entonces los productos escalares:

De ${\vec {u}}_{1}$ consigo mismo

{\vec {u}}_{1}\cdot {\vec {u}}_{1}=\cos ^{2}(\theta )+\mathrm {sen} ^{2}(\theta )=1

De ${\vec {u}}_{1}$ con ${\vec {u}}_{2}$ (y viceversa, por la conmutatividad)

{\vec {u}}_{1}\cdot {\vec {u}}_{2}={\vec {u}}_{2}\cdot {\vec {u}}_{1}=\cos(\theta )(-\mathrm {sen} (\theta ))+\mathrm {sen} (\theta )\cos(\theta )=0

De ${\vec {u}}_{1}$ con ${\vec {u}}_{3}$ (y viceversa). Es fácil ver que son ortogonales ya que ${\vec {u}}_{1}$ no tiene componente en ${\vec {k}}$

{\vec {u}}_{1}\cdot {\vec {u}}_{3}={\vec {u}}_{3}\cdot {\vec {u}}_{1}=(\cos(\theta ){\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }})\cdot {\vec {k}}=\cos(\theta )\overbrace {{\vec {\imath }}\cdot {\vec {k}}} ^{=0}+\mathrm {sen} (\theta )\overbrace {{\vec {\jmath }}\cdot {\vec {k}}} ^{=0}=0

De ${\vec {u}}_{2}$ consigo mismo

{\vec {u}}_{2}\cdot {\vec {u}}_{2}=(-\mathrm {sen} (\theta ))^{2}+\cos ^{2}(\theta )=1

De ${\vec {u}}_{2}$ con ${\vec {u}}_{3}$ (y viceversa). Se anula el producto escalar por la misma razón que el de ${\vec {u}}_{1}$ con ${\vec {u}}_{3}$

{\vec {u}}_{2}\cdot {\vec {u}}_{3}={\vec {u}}_{3}\cdot {\vec {u}}_{1}=(-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }})\cdot {\vec {k}}=-\mathrm {sen} (\theta )\overbrace {{\vec {\imath }}\cdot {\vec {k}}} ^{=0}+\cos(\theta )\overbrace {{\vec {\jmath }}\cdot {\vec {k}}} ^{=0}=0

De ${\vec {u}}_{3}$ consigo mismo

{\vec {u}}_{3}\cdot {\vec {u}}_{3}={\vec {k}}\cdot {\vec {k}}=1

Por tanto, hemos demostrado que la relación anterior para los productos escalares se cumple y la base es ortonormal.

Base dextrogira

Para demostrar que se trata de una base dextrógira hemos de probar que se cumple la regla de la mano derecha, es decir, que

{\vec {u}}_{1}\times {\vec {u}}_{2}={\vec {u}}_{3}\qquad \qquad {\vec {u}}_{2}\times {\vec {u}}_{3}={\vec {u}}_{1}\qquad \qquad {\vec {u}}_{3}\times {\vec {u}}_{1}={\vec {u}}_{2}

Probamos la primera de las igualdades

{\vec {u}}_{1}\times {\vec {u}}_{2}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\cos(\theta )&\mathrm {sen} (\theta )&0\\-\mathrm {sen} (\theta )&\cos(\theta )&0\end{matrix}}\right|=(\cos ^{2}(\theta )+\mathrm {sen} ^{2}(\theta )){\vec {k}}={\vec {k}}

De la misma manera se demuestran las otras dos igualdades. Una forma alternativa de demostrarlas es observar que

{\vec {u}}_{2}\times {\vec {u}}_{3}={\vec {u}}_{2}\times ({\vec {u}}_{1}\times {\vec {u}}_{2})

Aplicamos las propiedades del doble producto vectorial

{\vec {u}}_{2}\times {\vec {u}}_{3}=\overbrace {({\vec {u}}_{2}\cdot {\vec {u}}_{2})} ^{=1}{\vec {u}}_{1}-\overbrace {({\vec {u}}_{2}\cdot {\vec {u}}_{1})} ^{=0}{\vec {u}}_{2}={\vec {u}}_{1}

y de la misma manera se obtiene la tercera

{\vec {u}}_{3}\times {\vec {u}}_{1}={\vec {u}}_{2}

por lo que la base es ortonormal y dextrógira.

Esta base supone una rotación de un ángulo $\theta$ alrededor del eje OZ.

Transformación inversa

La transformación inversa consiste en escribir la base canónica $\{{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }},{\vec {k}}\}$ como combinación lineal de la base $\{{\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2},{\vec {u}}_{3}\}$ , es decir, escribir ${\vec {\imath }}$ en la forma

{\vec {\imath }}=(\ldots ){\vec {u}}_{1}+(\ldots ){\vec {u}}_{2}+(\ldots ){\vec {u}}_{3}

para ello, aplicamos que las componentes de un vector en una base ortonormal se obtienen proyectando sobre cada vector de esa base

{\vec {F}}=F_{1}{\vec {u}}_{1}+F_{2}{\vec {u}}_{2}+F_{3}{\vec {u}}_{3}\qquad \Rightarrow \qquad F_{k}={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{k}

y que el producto escalar es independiente de la base que se emplee para calcularlo. En particular podemos emplear la propia base canónica. En ese caso las componentes de ${\vec {\imath }}$ serán