Enunciado

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores y son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que . Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Solución

Para ver que son ortogonales calculamos el producto escalar de los dos vectores.

siendo C el centro de la circunferencia.

Desarrollando en esta expresión

Ahora bien, por ser puntos diametralmente opuestos, y son vectores del mismo módulo , misma dirección y sentido contrario, por lo que

    

lo que nos lleva a

Puesto que A y P se encuentran sobre la circunferencia, equidistan del punto C:

    

y por tanto

El producto escalar es nulo y los vectores son, por tanto, ortogonales.

El resultado es independiente del punto , siempre que se encuentre sobre la circunferencia. A esta construcción se la denomina arco capaz.

Para el proceso inverso, se trata de localizar el punto C tal que

Se puede ver que la situación es la misma, aunque la figura esté girada. Tenemos dos vectores y de los que sabemos que son ortogonales, esto es

Tomamos el punto C, que es el punto medio de A y B y por tanto verifica

Queda entonces demostrar que

La demostración del enunciado recíproco es completamente análoga a la anterior. Operando exactamente como antes llegamos de nuevo a la igualdad

siendo ahora el dato que el primer miembro es nulo y por tanto

 ⇒ 

y por tanto el punto C se encuentra siempre a la misma distancia de P, siendo esta distancia igual a la mitad de la distancia entre A y B.

Esta construcción es útil en Mecánica. Imaginemos una escalera apoyada sobre una pared y el suelo. Cuando la escalera resbala, deslizándose sobre la pared y el suelo, ¿qué trayectoria describe el punto medio de la escalera? En este caso P es la esquina y A y B son los extremos de la escalera. C es su punto medio. Si L es la longitud de la escalera, este resultado prueba que y por tanto el punto C describe un arco de circunferencia.