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Cálculo de las componentes de un vector

De Laplace

1 Enunciado

De una fuerza \vec{F}_1 se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra \vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

2 Solución

La fuerza tendrá en general una componente en cada una de las tres direcciones del espacio

\vec{F}_1=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k}

Para obtener cada una de ellas, multiplicamos por el vector unitario correspondiente. Así

F_x = \vec{F}_1\cdot\vec{\imath}

Por otro lado, de la definición de producto escalar

F_x = \vec{F}_1\cdot\vec{\imath}=|\vec{F}_1||\vec{\imath}|\cos(60^\circ) = (10\,\mathrm{N})\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=5\,\mathrm{N}

Análogamente

F_y = \vec{F}_1\cdot\vec{\jmath}=|\vec{F}_1||\vec{\jmath}|\cos(60^\circ) = (10\,\mathrm{N})\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=5\,\mathrm{N}

La tercera componente la hallamos a partir de estas dos y del módulo de la fuerza

|\vec{F}_1|=\sqrt{F-x^2+F_y^2+F_z^2}\qquad\rightarrow\qquad F_z\pm\sqrt{|\vec{F}_1|^2-F_x^2-F_y^2}

Tenemos dos soluciones porque la tercera componente puede ir en la dirección del semieje OZ positivo o en la del negativo. Sustituyendo los valore snuméricos

F_z =\pm\sqrt{100-25-25}\,\mathrm{N}=\pm 5\sqrt{2}\,\mathrm{N}=\pm 7.1\,\mathrm{N}

Nótese que en el resultado final redondeamos a la cantidad de cifras significativas del dato de entrada (dos cifras).

Reuniendo los tres resultados, obtenemos las soluciones

\vec{F}_1 = \left(5\vec{\imath}+5\vec{\jmath}\pm 7.1\vec{k}\right)\mathrm{N}

Cuando a esta fuerza le sumamos la segunda

\vec{F}_2 = \left(-10\,\vec{\imath}-10\,\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{N}

obtenemos la resultante

\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2 = \left(-5\vec{\imath}-5\vec{\jmath}\pm 7.1\vec{k}\right)\mathrm{N}

El módulo de esta fuerza vale

|\vec{F}|=\sqrt{(-5)^2+(-5)^2+(5\sqrt{2})^2}\,\mathrm{N}=10\,\mathrm{N}

(a la hora de hacer cálculos intermedios interesa usar las soluciones exactas, y solo redondear en los resultados finales).

El ángulo que forma la fuerza con el eje OX positivo lo obtenemos a partir de sus coseno

\cos(\alpha_1) = \frac{\vec{F}\cdot\vec{\imath}}{|\vec{F}||\vec{\imath}|} = -0.5\qquad \Rightarrow\qquad \alpha_1 = \frac{2\pi}{3}=120^\circ

Análogamente para el eje OY

\cos(\alpha_2) = \frac{\vec{F}\cdot\vec{\jmath}}{|\vec{F}||\vec{\jmath}|} = -0.5\qquad \Rightarrow\qquad \alpha_2 = \frac{2\pi}{3}=120^\circ

Para el eje OZ operamos del mismo modo y tenemos dos posibilidades

\cos(\alpha_3) = \frac{\vec{F}\cdot\vec{k}}{|\vec{F}||\vec{k}|} = \pm 0.7\qquad \Rightarrow\qquad \alpha_3 = \begin{cases}\pi/4 =45^\circ & \\ 3\pi/4 = 135^\circ & \end{cases}

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