Cálculo de las componentes de un vector

Enunciado

De una fuerza ${\vec {F}}_{1}$ se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra ${\vec {F}}_{2}=(-10{\vec {\imath }}-10{\vec {\jmath }})\,\mathrm {N}$, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

Solución

La fuerza tendrá en general una componente en cada una de las tres direcciones del espacio

${\vec {F}}_{1}=F_{x}{\vec {\imath }}+F_{y}{\vec {\jmath }}+F_{z}{\vec {k}}$

Para obtener cada una de ellas, multiplicamos por el vector unitario correspondiente. Así

$F_{x}={\vec {F}}_{1}\cdot {\vec {\imath }}$

Por otro lado, de la definición de producto escalar

$F_{x}={\vec {F}}_{1}\cdot {\vec {\imath }}=|{\vec {F}}_{1}||{\vec {\imath }}|\cos(60^{\circ })=(10\,\mathrm {N} )\cdot 1\cdot {\frac {1}{2}}=5\,\mathrm {N}$

Análogamente

$F_{y}={\vec {F}}_{1}\cdot {\vec {\jmath }}=|{\vec {F}}_{1}||{\vec {\jmath }}|\cos(60^{\circ })=(10\,\mathrm {N} )\cdot 1\cdot {\frac {1}{2}}=5\,\mathrm {N}$

La tercera componente la hallamos a partir de estas dos y del módulo de la fuerza

$|{\vec {F}}_{1}|={\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}\qquad \rightarrow \qquad F_{z}=\pm {\sqrt {|{\vec {F}}_{1}|^{2}-F_{x}^{2}-F_{y}^{2}}}$

Tenemos dos soluciones porque la tercera componente puede ir en la dirección del semieje OZ positivo o en la del negativo. Sustituyendo los valore snuméricos

$F_{z}=\pm {\sqrt {100-25-25}}\,\mathrm {N} =\pm 5{\sqrt {2}}\,\mathrm {N} =\pm 7.1\,\mathrm {N}$

Nótese que en el resultado final redondeamos a la cantidad de cifras significativas del dato de entrada (dos cifras).

Reuniendo los tres resultados, obtenemos las soluciones

${\vec {F}}_{1}=\left(5{\vec {\imath }}+5{\vec {\jmath }}\pm 7.1{\vec {k}}\right)\mathrm {N}$

Cuando a esta fuerza le sumamos la segunda

${\vec {F}}_{2}=\left(-10\,{\vec {\imath }}-10\,{\vec {\jmath }}\right)\,\mathrm {N}$

obtenemos la resultante

${\vec {F}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}=\left(-5{\vec {\imath }}-5{\vec {\jmath }}\pm 7.1{\vec {k}}\right)\mathrm {N}$

El módulo de esta fuerza vale

$|{\vec {F}}|={\sqrt {(-5)^{2}+(-5)^{2}+(5{\sqrt {2}})^{2}}}\,\mathrm {N} =10\,\mathrm {N}$

(a la hora de hacer cálculos intermedios interesa usar las soluciones exactas, y solo redondear en los resultados finales).

El ángulo que forma la fuerza con el eje OX positivo lo obtenemos a partir de sus coseno

$\cos(\alpha _{1})={\frac {{\vec {F}}\cdot {\vec {\imath }}}{|{\vec {F}}||{\vec {\imath }}|}}=-0.5\qquad \Rightarrow \qquad \alpha _{1}={\frac {2\pi }{3}}=120^{\circ }$

Análogamente para el eje OY

$\cos(\alpha _{2})={\frac {{\vec {F}}\cdot {\vec {\jmath }}}{|{\vec {F}}||{\vec {\jmath }}|}}=-0.5\qquad \Rightarrow \qquad \alpha _{2}={\frac {2\pi }{3}}=120^{\circ }$

Para el eje OZ operamos del mismo modo y tenemos dos posibilidades

$\cos(\alpha _{3})={\frac {{\vec {F}}\cdot {\vec {k}}}{|{\vec {F}}||{\vec {k}}|}}=\pm 0.7\qquad \Rightarrow \qquad \alpha _{3}={\begin{cases}\pi /4=45^{\circ }&\\3\pi /4=135^{\circ }&\end{cases}}$