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Distancia de un vértice a un plano

De Laplace

1 Enunciado

Sea un cubo de arista b siendo O uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de O al plano definido por sus tres vértices contiguos?

2 Solución

La distancia de un punto O a un plano es

d =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}

Siendo \vec{n} un vector normal al plano. Si lo que conocemos son tres puntos del plano, A, B y C, podemos hallar un vector normal mediante el producto vectorial de dos vectores tangentes

\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}

En este caso, los tres puntos del plano son

\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}\qquad\qquad \overrightarrow{OB}=b\vec{\jmath}\qquad\qquad \overrightarrow{OC}=b\vec{k}

lo que nos da los vectores de posición relativa

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=b\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=b\left(-\vec{\imath}+\vec{k}\right)

y el vector normal

\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ -b & b & 0\\ -b & 0 & b\end{matrix}\right|=b^2\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\right)

con módulo

\left|\vec{n}\right|=b^2\sqrt{3}

Por tanto la distancia buscada mide

d=\frac{(b\vec{\imath})\cdot\left(b^2\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\right)\right)}{b^2\sqrt{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{b\sqrt{3}}{3}

Esta distancia no es la mitad de la diagonal cúbica, sino la tercera parte.

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