Enunciado
Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno
y del seno
en un triángulo de lados , y , y ángulos opuestos , y .
Teorema del coseno
Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados,
se verifica la ecuación vectorial
Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma
Desarrollando el producto escalar
El ángulo que forman los vectores y no es igual a C, ya que para poder medir el ángulo que forman dos vectores deben tener un origen común. Trasladando el vector vemos que
por lo que finalmente obtenemos
que es el teorema del coseno.
Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.
En el caso particular de un triángulo rectángulo, el coseno se anula y el teorema se reduce al de Pitágoras
Teorema del seno
El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto
Desarrollando los módulos de los productos vectoriales
Dividiendo por el producto y multiplicando por 2 nos queda
que es el teorema del seno.