Problemas de herramientas matemáticas (GIE)

Problemas de boletín

Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores ${\overrightarrow {AP}}$ y ${\overrightarrow {BP}}$ son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que ${\overrightarrow {AP}}\perp {\overrightarrow {BP}}$. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\mathrm {cos} (C)$

y del seno

${\frac {\mathrm {sen} \,A}{a}}={\frac {\mathrm {sen} \,B}{b}}={\frac {\mathrm {sen} \,C}{c}}$

en un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$, y ángulos opuestos $A$, $B$ y $C$.

Construcción de una base

Dados los vectores

${\vec {v}}={\vec {\imath }}+2{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {a}}=6{\vec {\imath }}+9{\vec {\jmath }}+6{\vec {k}}$

Construya una base ortonormal dextrógira $\{{\vec {T}},{\vec {N}},{\vec {B}}\}$, tal que

1. El primer vector, ${\vec {T}}$, vaya en la dirección y sentido de ${\vec {v}}$
2. El segundo, ${\vec {N}}$, esté contenido en el plano definido por ${\vec {v}}$ y ${\vec {a}}$ y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de ${\vec {v}}$) que el vector ${\vec {a}}$.
3. El tercero, ${\vec {B}}$, sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

${\vec {v}}=2.0{\vec {\imath }}+3.5{\vec {\jmath }}-4.2{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {a}}=4.5{\vec {\imath }}-2.2{\vec {\jmath }}+1.5{\vec {k}}$

1. ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
2. ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
3. Escriba ${\vec {a}}$ como suma de dos vectores, uno paralelo a ${\vec {v}}$ y otro ortogonal a él.

Ángulo entre diagonales

Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

Fuerza debida a un globo aerostático

Un globo aerostático está atado al suelo por una cuerda de 50 m y ejerce una fuerza de 2000 N sobre esta cuerda (en la dirección de esta y tirando de ella). El globo se halla a una altura de 30 m y se halla empujado por un fuerte viento del noroeste. Exprese el vector fuerza en la base canónica, si el eje X apunta en la dirección este y el eje Y en la dirección norte.

Formulas vectoriales potencialmente incorrectas

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de cálculo de dimensiones, $R$ es una distancia y ${\vec {r}}$ el vector de posición; $t$ es el tiempo:

(a) ${\vec {F}}=m{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {a}}}{\vec {v}}}$

(b) ${\vec {F}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {a}})=({\vec {p}}\cdot {\vec {a}})\times {\vec {a}}$

(c) ${\frac {\vec {L}}{R}}={\vec {F}}t-{\vec {v}}$

(d) $({\vec {r}}\times {\vec {p}}){\vec {L}}=R({\vec {r}}\cdot {\vec {p}}){\vec {p}}$

(e) ${\frac {{\vec {F}}-{\vec {p}}/t}{m}}={\frac {{\vec {r}}-{\vec {v}}t}{t^{2}-t}}$

(f) ${\frac {1}{\vec {r}}}={\frac {\vec {r}}{r^{2}}}$

(g) $L={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

(h) ${\frac {W}{t}}={\vec {F}}\times \left({\vec {v}}-{\frac {R}{t}}\right)$

Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido, no nulo, ${\vec {A}}$ y uno que se desea determinar, ${\vec {X}}$. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por ${\vec {A}}$

${\vec {A}}\cdot {\vec {X}}=k\qquad {\vec {A}}\times {\vec {X}}={\vec {C}}$

Determine el valor de ${\vec {X}}$. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar ${\vec {X}}$?

Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza ${\vec {F}}_{1}$ se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra ${\vec {F}}_{2}=(-10{\vec {\imath }}-10{\vec {\jmath }})\,\mathrm {N}$, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

Base vectorial girada

Considere la terna de vectores

${\vec {u}}_{1}=\cos(\theta ){\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\jmath }}\qquad {\vec {u}}_{2}=-\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}+\cos(\theta ){\vec {\jmath }}\qquad {\vec {u}}_{3}={\vec {k}}$

1. Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
2. Halle la transformación inversa, es decir, exprese $\{{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }},{\vec {k}}\}$ como combinación de $\{{\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2},{\vec {u}}_{3}\}$.
3. Para el caso particular en que $\mathrm {tg} (\theta )=3/4$, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector ${\vec {F}}=10{\vec {\imath }}-15{\vec {\jmath }}+3{\vec {k}}$ en la nueva base.

Preguntas de test

Suma de vectores ligados

Dados los vectores ligados de la figura,

¿cuánto vale su suma vectorial?

A	B
C	D

Ángulo entre dos vectores

¿Qué ángulo forman los vectores ${\vec {A}}=24{\vec {\imath }}-32{\vec {k}}$ y ${\vec {B}}=16{\vec {\jmath }}+12{\vec {k}}$?

• A 0.00 rad
• B 1.07 rad
• C 1.57 rad
• D 2.07 rad

Posible igualdad vectorial

Si ${\vec {A}}$ y ${\vec {B}}$ son dos vectores unitarios, indique cuándo se cumple la igualdad

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}$

• A Cuando ${\vec {A}}$ y ${\vec {B}}$ son paralelos.
• B Cuando ${\vec {A}}$ y ${\vec {B}}$ son ortogonales.
• C No se cumple nunca.
• D Cuando ${\vec {A}}$ y ${\vec {B}}$ forman un ángulo de 45°.

Relación entre vectores

Si ${\vec {A}}$ y ${\vec {B}}$ son dos vectores unitarios, indique cuándo se cumple la igualdad

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|{\vec {A}}\times {\vec {B}}|$

• A Cuando ${\vec {A}}$ y ${\vec {B}}$ forman un ángulo de 45°.
• B Cuando ${\vec {A}}$ y ${\vec {B}}$ son paralelos.
• C Cuando ${\vec {A}}$ y ${\vec {B}}$ son ortogonales.
• D No se cumple nunca.

Otra posible igualdad vectorial

Sean ${\vec {A}}$, ${\vec {B}}$ y ${\vec {C}}$ vectores arbitrarios no nulos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta siempre?

• A ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {B}}\cdot {\vec {A}}$
• B $({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}={\vec {A}}({\vec {B}}\cdot {\vec {C}})$
• C ${\vec {A}}\times {\vec {B}}={\vec {B}}\times {\vec {A}}$
• D $({\vec {A}}\times {\vec {B}})\times {\vec {C}}={\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})$

Área de un triángulo

Dados tres puntos del espacio A, B y C, siendo O el origen de coordenadas, ¿cómo podemos hallar el área del triángulo que definen?

• A ${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}$
• B $({\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}})/2$
• C $|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}|/2$
• D ${\overrightarrow {OB}}\cdot ({\overrightarrow {OB}}\times {\overrightarrow {OC}})$

Comprobación de identidades

¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es necesariamente incorrecta? Los símbolos son los usuales en cinemática

• A ${\vec {r}}=({\vec {v}}-{\vec {a}}t)/|{\vec {a}}-{\vec {v}}t|$
• B $\Delta t=(\Delta {\vec {r}})/{\vec {v}}$
• C $R=|{\vec {v}}|^{3}/|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|$
• D ${\vec {r}}\cdot ({\vec {a}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})\cdot {\vec {v}}$

Ángulo entre dos diagonales

Se tienen dos vectores a lo largo de las diagonales de las caras de un cubo, con el mismo punto de aplicación. ¿Qué ángulo forman?

• A π/4
• B π/6
• C π/2
• D π/3

Ecuaciones con vectores

Dados dos vectores arbitrarios ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta, en general?

• A $|{\vec {a}}||{\vec {b}}|=|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}|+|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|$
• B $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {a}}={\vec {0}}$
• C $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {a}}=0$
• D $({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}{\vec {b}}$

Ortogonalidad de dos vectores

Dados dos vectores no nulos, ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$, ¿cuándo son perpendiculares su suma ${\vec {a}}+{\vec {b}}$ y su diferencia ${\vec {a}}-{\vec {b}}$?

• A Cuando $a$ y $b$ tienen el mismo módulo.
• B Nunca.
• C Cuando $a$ y $b$ son paralelos.
• D Cuando $a$ y $b$ son ortogonales.

Ecuación vectorial

Sea $O$ un punto fijo del espacio, ${\vec {A}}$ y ${\vec {C}}$ dos vectores constantes no nulos y $P$ un punto del espacio que verifica ${\vec {C}}\times {\overrightarrow {OP}}={\vec {A}}$. El conjunto de todos los puntos $P$ forma…

• A una recta paralela a ${\vec {C}}$ y que no pasa por O.
• B un plano perpendicular a ${\vec {C}}$.
• C una recta paralela a ${\vec {C}}$ y que pasa por O.
• D un plano perpendicular a ${\vec {A}}$.