Formulas vectoriales potencialmente incorrectas

Enunciado

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de cálculo de dimensiones, $R$ es una distancia y ${\vec {r}}$ el vector de posición; $t$ es el tiempo:

(a) ${\vec {F}}=m{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {a}}}{\vec {v}}}$

(b) ${\vec {F}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {a}})=({\vec {p}}\cdot {\vec {a}})\times {\vec {a}}$

(c) ${\frac {\vec {L}}{R}}={\vec {F}}t-{\vec {v}}$

(d) $({\vec {r}}\times {\vec {p}}){\vec {L}}=R({\vec {r}}\cdot {\vec {p}}){\vec {p}}$

(e) ${\frac {{\vec {F}}-{\vec {p}}/t}{m}}={\frac {{\vec {r}}-{\vec {v}}t}{t^{2}-t}}$

(f) ${\frac {1}{\vec {r}}}={\frac {\vec {r}}{r^{2}}}$

(g) $L={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

(h) ${\frac {W}{t}}={\vec {F}}\times \left({\vec {v}}-{\frac {R}{t}}\right)$

Caso (a)

La ecuación

${\vec {F}}=m{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {a}}}{\vec {v}}}$

es obviamente incorrecta ya que no está definida la división por un vector. Por tanto, el segundo miembro es absurdo.

Fórmula incorrecta.

Caso (b)

En el caso de la expresión

${\vec {F}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {a}})=({\vec {p}}\cdot {\vec {a}})\times {\vec {a}}$

el primer miembro posee significado. Sin embargo, en el segundo miembro encontramos el producto vectorial de ${\vec {p}}\cdot {\vec {a}}$ por ${\vec {a}}$, pero ${\vec {p}}\cdot {\vec {a}}$ es una cantidad escalar, no vectorial y por tanto no puede multiplicarse vectorialmente por nada.

Fórmula incorrecta.

Caso (c)

Para la fórmula

${\frac {\vec {L}}{R}}={\vec {F}}t-{\vec {v}}$

tenemos que el primer miembro es un vector y en el segundo miembro tenemos la diferencia de dos vectores, que es una expresión admisible. Por tanto, esta expresión no es incorrecta desde el punto de vista vectorial.

No basta, no obstante, con esto. Debemos comprobar que también es dimensionalmente correcta. El primer miembro tiene dimensiones

$\left[{\frac {\vec {L}}{R}}\right]={\frac {ML^{2}T^{-1}}{L}}=MLT^{-1}$

En el segundo miembro tenemos

$\left[{\vec {F}}t\right]=(MLT^{-2})T=MLT^{-1}$    $\left[{\vec {v}}\right]=LT^{-1}$

Estas dimensiones no son coincidentes (en la segunda falta la masa), por lo que la ecuación es incorrecta.

Fórmula incorrecta.

Caso (d)

En la identidad

$({\vec {r}}\times {\vec {p}}){\vec {L}}=R({\vec {r}}\cdot {\vec {p}}){\vec {p}}$

¿qué tipo de operación aparece en el primer miembro? Tenemos un vector $({\vec {r}}\times {\vec {p}})$ seguido de otro sin ningún signo de producto entre ellos. No es un producto escalar, que lleva un punto, ni uno vectorial (que lleva una cruz o una cuña). Por tanto, el primer miembro carece de significado. No es ni un escalar ni un vector.

Parecería que en el segundo miembro se da el mismo caso, ya que no hay punto o cruz entre $({\vec {r}}\cdot {\vec {p}})$ y ${\vec {p}}$, pero no es así, porque el producto escalar es un número, no un vector, y el producto de un escalar por un vector no lleva punto, siendo el resultado un vector.

Fórmula incorrecta.

Caso (e)

Para la fórmula

${\frac {{\vec {F}}-{\vec {p}}/t}{m}}={\frac {{\vec {r}}-{\vec {v}}t}{t^{2}-t}}$

no hay que esforzarse mucho para encontrar un error: en el denominador del segundo miembro aparece una expresión dimensionalmente incorrecta pues resta un tiempo del cuadrado de un tiempo, lo que no es admisible.

Fórmula incorrecta.

Caso (f)

En la igualdad

${\frac {1}{\vec {r}}}={\frac {\vec {r}}{r^{2}}}$

tenemos de nuevo la división por un vector, lo que no está definido.

Fórmula incorrecta

Caso (g)

La ecuación

$L={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

es claramente incorrecta pues iguala un escalar (el módulo del momento cinético, pues no lleva flecha) con un vector, lo que incumple la homogeneidad.

Fórmula incorrecta

Caso (h)

Por último, el caso

${\frac {W}{t}}={\vec {F}}\times \left({\vec {v}}-{\frac {R}{t}}\right)$

está doblemente mal: iguala un escalar a un vector, pero dicho vector se compone además de la suma de un vector y un escalar, no siendo admisible ninguna de las dos operaciones.

Fórmula incorrecta

En resumen, todas las fórmulas del enunciado están mal.