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Teoremas del seno y del coseno (GIE)

De Laplace

1 Enunciado

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)

y del seno

\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}

en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos A, B y C.

Archivo:Ejemplo_triangulo_2.png

2 Teorema del coseno

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados,

\vec{a}=\overrightarrow{BC}\qquad\qquad \vec{b}=\overrightarrow{CA}\qquad\qquad \vec{c}=\overrightarrow{BA}
Archivo:triangulo-generico-02.png

se verifica la ecuación vectorial

\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{c}= \vec{a} + \vec{b}

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2

Desarrollando el producto escalar

\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=a^2+2ab\cos(\gamma)+b^2=c^2

El ángulo γ que forman los vectores \vec{a} y\vec{b} no es igual a C, ya que para poder medir el ángulo que forman dos vectores deben tener un origen común. Trasladando el vector \vec{a} vemos que

\gamma=\pi-C\,
Archivo:triangulo-generico-03.png

por lo que finalmente obtenemos

a^2 -2ab\,\cos(C) + b^2 = c^2

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.

En el caso particular de un triángulo rectángulo, el coseno se anula y el teorema se reduce al de Pitágoras

\left(C=\frac{\pi}{2}\right)\qquad\Rightarrow\qquad c^2=a^2+b^2
Archivo:triangulo-generico-04.png

3 Teorema del seno

El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto

A = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{b}\times\vec{c}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{c}\right|

Desarrollando los módulos de los productos vectoriales

A = \frac{ab\,\mathrm{sen}\,C}{2}=\frac{bc\,\mathrm{sen}\,A}{2}=\frac{ac\,\mathrm{sen}\,B}{2}

Dividiendo por el producto abc y multiplicando por 2 nos queda

\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}=\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}

que es el teorema del seno.

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