Primera Prueba de Control 2011/12 (G.I.C.)

Expresión de un vector

Dado un vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} , se conocen de él los siguientes datos: al proyectar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} ortogonalmente sobre el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}} , la componente paralela a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}} de la proyección vale 1, mientras que la componente perpendicular vale 2; al colocar el origen de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} en el origen de coordenadas, su extremo está en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=-2} . ¿Cuál de estas expresiones del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} es correcta?

1. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = 2\,\vec{\imath} + \vec{k}} .
2. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = 2\,\vec{\imath} - 2\,\vec{k}} .
3. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = \vec{\imath} + 2\,\vec{k}} .
4. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = \vec{\imath} - 2\,\vec{k}} .

Longitud de un péndulo oscilando en la luna

El período de oscilación de un péndulo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=2\pi\sqrt{l/g}} , donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l} es la longitud del péndulo y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g} es la aceleración de la gravedad. Si su período de oscilación en la superficie de la luna es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_L=3.48\,\mathrm{s}} , calcula su longitud.

Datos: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g_T=9.81\,\mathrm{m/s^2}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M_T=6.00\times10^{24}\,\mathrm{kg}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M_L=7.40\times10^{22}\,\mathrm{kg}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_T = 6370\,\mathrm{km}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_L= 1738\,\mathrm{km}} .

Cuarto de circunferencia empujando una cuerda

Se tiene un cuarto de circunferencia de radio $R$ como se indica en la figura. Su centro $A$ se mueve con aceleración ${\vec {a}}_{A}=12\,k\,R\,t^{2}\,{\vec {\imath }}$. En el instante inicial el punto $A$ está en el origen de coordenadas con velocidad nula. Una cuerda atada al punto $O$ se apoya sobre el cuarto de circunferencia, de modo que el trozo entre los puntos $C$ y $P$ permanece siempre vertical. La longitud de la cuerda es $l=10\,R$.

1. Determina la unidad base en el sistema internacional de la constante de $k$.
2. Calcula la posición del punto A en un instante arbitrario
3. Determina el vector de posición del punto P en función del tiempo.

Bola colgando de un muelle y un hilo

El sistema de la figura consta de una partícula de masa $m$, un muelle de constane elástica $k$ y elongación natural nula, y una cuerda de longitud $a$. El punto de anclaje del muelle y de sujección de la cuerda están separados por una distancia $a$.

1. Determina la expresión que da la elongación del muelle en función del ángulo $\alpha$ y la longitud $a$.
2. Encuentra el valor del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha } en la posición de equilibrio.

Triedro intrínseco de una hipérbola

Se tiene la hipérbola de la figura, que viene dada por la ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=C^2/x} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} una constante.

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al vector tangente en cada punto?
   1. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} - \dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}} .
   2. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} + \dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}} .
   3. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=-\dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} - \dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}} .
   4. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=-\dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}} .
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al vector normal en cada punto?
   1. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}} .
   2. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} - \dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}} .
   3. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} + \dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}} .
   4. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} - \dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}} .
3. Un punto recorre la hipérbola de modo que la coordenada sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} depende del tiempo como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=v\,t} (suponemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>0} ). La aceleración tangencial en un instante de tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} es
   1. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_T=-\dfrac{2\,C^4}{v\,t^3}\dfrac{1}{\sqrt{C^4+v^4t^4}}} .
   2. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_T=\dfrac{2\,C^4}{v\,t^3}\dfrac{1}{\sqrt{C^4+v^4t^4}}} .
   3. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_T=\dfrac{2\,C^2v}{t}\dfrac{1}{\sqrt{C^4+v^4t^4}}} .
   4. Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_T=-\dfrac{2\,C^2v}{t}\dfrac{1}{\sqrt{C^4+v^4t^4}}} .

Bola ensartada en semicircunferencia con muelle

Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} está obligada a reposar sobre una circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} . La partícula está unida al extremo superior de la circunferencia por un muelle de constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y elongación natural nula. El contacto entre la partícula y la circunferencia es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} .

1. Determina el módulo de la componente normal de la fuerza de reacción vincular.
2. Determina el módulo de la fuerza de rozamiento.