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Expresión de un vector, Noviembre 2011 (G.I.C.)

De Laplace

1 Enunciado

Dado un vector \vec{a}, se conocen de él los siguientes datos: al proyectar \vec{a} ortogonalmente sobre el vector \vec{\imath}, la componente paralela a \vec{\imath} de la proyección vale 1, mientras que la componente perpendicular vale 2; al colocar el origen de \vec{a} en el origen de coordenadas, su extremo está en el plano z = − 2. ¿Cuál de estas expresiones del vector \vec{a} es correcta?

  1. \vec{a} = 2\,\vec{\imath} + \vec{k}.
  2. \vec{a} = 2\,\vec{\imath} - 2\,\vec{k}.
  3. \vec{a} = \vec{\imath} + 2\,\vec{k}.
  4. \vec{a} = \vec{\imath} - 2\,\vec{k}.

2 Solución

La expresión en coordenadas cartesianas del vector  \vec{a} es


\vec{a}=a_x\,\vec{\imath} + a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k}

La primera condición que nos da implica que


\vec{a}\cdot\vec{\imath} = 1 = a_x

La segunda condición se traduce en


|\vec{a}\times\vec{\imath}|=2

Tenemos


\vec{a}\times\vec{\imath} =
(a_x\,\vec{\imath} + a_y\,\vec{\jmath} + a_z\,\vec{k})
\times
(\vec{\imath})
=
-a_y\,\vec{k} + a_z\,\vec{\jmath}

La condición sobre el módulo implica que


a_y^2+a_z^2 = 4

Por último, si ponemos el origen del vector en el origen de coordenadas y su extremo está en el plano z = − 2 implica que la componente az es igual a -2

az = − 2

De las tres expresiones obtenidas vemos que el vector  \vec{a} en coordenadas cartesianas es


\vec{a} = \vec{\imath} -2\,\vec{k}

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