Primera Prueba de Control 2011/12 (G.I.C.)

Expresión de un vector

Dado un vector ${\vec {a}}$, se conocen de él los siguientes datos: al proyectar ${\vec {a}}$ ortogonalmente sobre el vector ${\vec {\imath }}$, la componente paralela a ${\vec {\imath }}$ de la proyección vale 1, mientras que la componente perpendicular vale 2; al colocar el origen de ${\vec {a}}$ en el origen de coordenadas, su extremo está en el plano $z=-2$. ¿Cuál de estas expresiones del vector ${\vec {a}}$ es correcta?

1. ${\vec {a}}=2\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}}$.
2. ${\vec {a}}=2\,{\vec {\imath }}-2\,{\vec {k}}$.
3. ${\vec {a}}={\vec {\imath }}+2\,{\vec {k}}$.
4. ${\vec {a}}={\vec {\imath }}-2\,{\vec {k}}$.

Longitud de un péndulo oscilando en la luna

El período de oscilación de un péndulo es $T=2\pi {\sqrt {l/g}}$, donde $l$ es la longitud del péndulo y $g$ es la aceleración de la gravedad. Si su período de oscilación en la superficie de la luna es $T_{L}=3.48\,\mathrm {s}$, calcula su longitud.

Datos: $g_{T}=9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$, $M_{T}=6.00\times 10^{24}\,\mathrm {kg}$, $M_{L}=7.40\times 10^{22}\,\mathrm {kg}$, $R_{T}=6370\,\mathrm {km}$, $R_{L}=1738\,\mathrm {km}$.

Cuarto de circunferencia empujando una cuerda

Se tiene un cuarto de circunferencia de radio $R$ como se indica en la figura. Su centro $A$ se mueve con aceleración ${\vec {a}}_{A}=12\,k\,R\,t^{2}\,{\vec {\imath }}$. En el instante inicial el punto $A$ está en el origen de coordenadas con velocidad nula. Una cuerda atada al punto $O$ se apoya sobre el cuarto de circunferencia, de modo que el trozo entre los puntos $C$ y $P$ permanece siempre vertical. La longitud de la cuerda es $l=10\,R$.

1. Determina la unidad base en el sistema internacional de la constante de $k$.
2. Calcula la posición del punto A en un instante arbitrario
3. Determina el vector de posición del punto P en función del tiempo.

Bola colgando de un muelle y un hilo

El sistema de la figura consta de una partícula de masa $m$, un muelle de constane elástica $k$ y elongación natural nula, y una cuerda de longitud $a$. El punto de anclaje del muelle y de sujección de la cuerda están separados por una distancia $a$.

1. Determina la expresión que da la elongación del muelle en función del ángulo $\alpha$ y la longitud $a$.
2. Encuentra el valor del ángulo $\alpha$ en la posición de equilibrio.

Triedro intrínseco de una hipérbola

Se tiene la hipérbola de la figura, que viene dada por la ecuación $y=C^{2}/x$, siendo $C$ una constante.

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al vector tangente en cada punto?
   1. ${\vec {T}}={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   2. ${\vec {T}}={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   3. ${\vec {T}}=-{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   4. ${\vec {T}}=-{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al vector normal en cada punto?
   1. ${\vec {N}}={\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   2. ${\vec {N}}={\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   3. ${\vec {N}}={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
   4. ${\vec {N}}={\dfrac {x^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {C^{2}}{\sqrt {x^{4}+C^{4}}}}\,{\vec {\jmath }}$.
3. Un punto recorre la hipérbola de modo que la coordenada sobre el eje $X$ depende del tiempo como $x=v\,t$ (suponemos $t>0$). La aceleración tangencial en un instante de tiempo $t$ es
   1. $a_{T}=-{\dfrac {2\,C^{4}}{v\,t^{3}}}{\dfrac {1}{\sqrt {C^{4}+v^{4}t^{4}}}}$.
   2. $a_{T}={\dfrac {2\,C^{4}}{v\,t^{3}}}{\dfrac {1}{\sqrt {C^{4}+v^{4}t^{4}}}}$.
   3. $a_{T}={\dfrac {2\,C^{2}v}{t}}{\dfrac {1}{\sqrt {C^{4}+v^{4}t^{4}}}}$.
   4. $a_{T}=-{\dfrac {2\,C^{2}v}{t}}{\dfrac {1}{\sqrt {C^{4}+v^{4}t^{4}}}}$.

Bola ensartada en semicircunferencia con muelle

Una partícula de masa $m$ está obligada a reposar sobre una circunferencia de radio $R$. La partícula está unida al extremo superior de la circunferencia por un muelle de constante elástica $k$ y elongación natural nula. El contacto entre la partícula y la circunferencia es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático $\mu$.

1. Determina el módulo de la componente normal de la fuerza de reacción vincular.
2. Determina el módulo de la fuerza de rozamiento.