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Primera Prueba de Control 2011/12 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Expresión de un vector

Dado un vector \vec{a}, se conocen de él los siguientes datos: al proyectar \vec{a} ortogonalmente sobre el vector \vec{\imath}, la componente paralela a \vec{\imath} de la proyección vale 1, mientras que la componente perpendicular vale 2; al colocar el origen de \vec{a} en el origen de coordenadas, su extremo está en el plano z = − 2. ¿Cuál de estas expresiones del vector \vec{a} es correcta?

  1. \vec{a} = 2\,\vec{\imath} + \vec{k}.
  2. \vec{a} = 2\,\vec{\imath} - 2\,\vec{k}.
  3. \vec{a} = \vec{\imath} + 2\,\vec{k}.
  4. \vec{a} = \vec{\imath} - 2\,\vec{k}.

2 Longitud de un péndulo oscilando en la luna

El período de oscilación de un péndulo es T=2\pi\sqrt{l/g}, donde l es la longitud del péndulo y g es la aceleración de la gravedad. Si su período de oscilación en la superficie de la luna es T_L=3.48\,\mathrm{s}, calcula su longitud.

Datos: g_T=9.81\,\mathrm{m/s^2}, M_T=6.00\times10^{24}\,\mathrm{kg}, M_L=7.40\times10^{22}\,\mathrm{kg}, R_T = 6370\,\mathrm{km}, R_L= 1738\,\mathrm{km}.

3 Cuarto de circunferencia empujando una cuerda

Se tiene un cuarto de circunferencia de radio R como se indica en la figura. Su centro A se mueve con aceleración \vec{a}_A = 12\,k\,R\,t^2\,\vec{\imath}. En el instante inicial el punto A está en el origen de coordenadas con velocidad nula. Una cuerda atada al punto O se apoya sobre el cuarto de circunferencia, de modo que el trozo entre los puntos C y P permanece siempre vertical. La longitud de la cuerda es l=10\,R.

  1. Determina la unidad base en el sistema internacional de la constante de k.
  2. Calcula la posición del punto A en un instante arbitrario
  3. Determina el vector de posición del punto P en función del tiempo.

4 Bola colgando de un muelle y un hilo

El sistema de la figura consta de una partícula de masa m, un muelle de constane elástica k y elongación natural nula, y una cuerda de longitud a. El punto de anclaje del muelle y de sujección de la cuerda están separados por una distancia a.

  1. Determina la expresión que da la elongación del muelle en función del ángulo α y la longitud a.
  2. Encuentra el valor del ángulo α en la posición de equilibrio.

5 Triedro intrínseco de una hipérbola

Se tiene la hipérbola de la figura, que viene dada por la ecuación y = C2 / x, siendo C una constante.

  1. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al vector tangente en cada punto?
    1. \vec{T}=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} - \dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}.
    2. \vec{T}=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} + \dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}.
    3. \vec{T}=-\dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} - \dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}.
    4. \vec{T}=-\dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}.
  2. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al vector normal en cada punto?
    1. \vec{N}=\dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} + \dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}.
    2. \vec{N}=\dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} - \dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}.
    3. \vec{N}=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} + \dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}.
    4. \vec{N}=\dfrac{x^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\imath} - \dfrac{C^2}{\sqrt{x^4+C^4}}\,\vec{\jmath}.
  3. Un punto recorre la hipérbola de modo que la coordenada sobre el eje X depende del tiempo como x=v\,t (suponemos t > 0). La aceleración tangencial en un instante de tiempo t es
    1. a_T=-\dfrac{2\,C^4}{v\,t^3}\dfrac{1}{\sqrt{C^4+v^4t^4}}.
    2. a_T=\dfrac{2\,C^4}{v\,t^3}\dfrac{1}{\sqrt{C^4+v^4t^4}}.
    3. a_T=\dfrac{2\,C^2v}{t}\dfrac{1}{\sqrt{C^4+v^4t^4}}.
    4. a_T=-\dfrac{2\,C^2v}{t}\dfrac{1}{\sqrt{C^4+v^4t^4}}.

6 Bola ensartada en semicircunferencia con muelle

Una partícula de masa m está obligada a reposar sobre una circunferencia de radio R. La partícula está unida al extremo superior de la circunferencia por un muelle de constante elástica k y elongación natural nula. El contacto entre la partícula y la circunferencia es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático μ.

  1. Determina el módulo de la componente normal de la fuerza de reacción vincular.
  2. Determina el módulo de la fuerza de rozamiento.

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