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Cuarto de circunferencia empujando una cuerda, Noviembre 2011 (G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un cuarto de circunferencia de radio R como se indica en la figura. Su centro A se mueve con aceleración \vec{a}_A = 12\,k\,R\,t^2\,\vec{\imath}. En el instante inicial el punto A está en el origen de coordenadas con velocidad nula. Una cuerda atada al punto O se apoya sobre el cuarto de circunferencia, de modo que el trozo entre los puntos C y P permanece siempre vertical. La longitud de la cuerda es l=10\,R.

  1. Determina la unidad base en el sistema internacional de la constante de k.
  2. Calcula la posición del punto A en un instante arbitrario
  3. Determina el vector de posición del punto P en función del tiempo.

2 Solución

2.1 Unidades de la constante k

Las unidades de k han de ser tales que la unidades del vector  \vec{a}_A sean m / s2. Entonces


[k] = \dfrac{[\vec{a}_A]}{[R][t^2]} = \dfrac{ms^{-2}}{ms^2}=s^{-4}

2.2 Posición del punto A

El punto A realiza un movimiento rectilíneo con aceleración aA = 12kRt2. Además nos dicen que en el instante inicial está en el origen de coordenadas y su velocidad inicial es nula. Integramos la aceleración para obtener la velocidad del punto como función del tiempo


a_A = \dfrac{\mathrm{d}v_A}{\mathrm{d}t}
 \Longrightarrow
\mathrm{d}v_A = a_A\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\limits_{0}^{v_A(t)} \mathrm{d}v_A = 
\int\limits_0^ta_A(t)\,\mathrm{d}t

Calculando la integral tenemos


v_A(t) = \int\limits_0^t12kRt^2\,\mathrm{d}t = 4kRt^3

Integramos otra vez para obtener la posición


v_A = \dfrac{\mathrm{d}x_A}{\mathrm{d}t}
 \Longrightarrow
\mathrm{d}x_A = v_A\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\int\limits_{0}^{x_A(t)} \mathrm{d}x_A = 
\int\limits_0^tv_A(t)\,\mathrm{d}t

Calculando la integral obtenemos


x_A(t) = \int\limits_0^t4kRt^3\,\mathrm{d}t = kRt^4

Por tanto el vector de posición del punto A en un instante arbitrario es


\vec{r}_A(t) = \overrightarrow{OA}(t) = kRt^4\,\vec{\imath}

2.3 Vector de posición del punto P

Podemos determinar este vector con la siguiente suma vectorial


\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP}

El vector \overrightarrow{OC} es


\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}
=
kRt^4\,\vec{\imath} + R\,\vec{\imath} = R\,(1+kt^4)\,\vec{\imath}

Aquí se observa que es coherente que las unidades de k sean s − 4. De este modo el sumando kt4 no tiene dimensiones.

El vector  \overrightarrow{CP} es de la forma


\overrightarrow{CP} = -|\overrightarrow{CP}|\,\vec{\jmath}

El módulo del vector es


|\overrightarrow{CP}| = l - \overline{OB} + \overset{\frown}{BC}

En esta expresión l es la longitud de la cuerda, \overline{OB} la longitud del segmento OB y  \overset{\frown}{BC} la longitud del arco de circunferencia. Tenemos


\begin{array}{l}
l = 10R\\
\\
\overline{OB} = \sqrt{\overline{OA}^2+\overline{AB}^2} = 
\sqrt{k^2R^2t^8 + R^2} = R\,\sqrt{1+k^2t^8}\\
\\
\overset{\frown}{BC} = \dfrac{\pi}{2}\,R
\end{array}

Por tanto el vector de posición del punto P es


\overrightarrow{OP}(t) = R\,(1+k\,t^4)\,\vec{\imath} - R\,(10-\dfrac{\pi}{2}-\sqrt{1+k^2t^8})\,\vec{\jmath}

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