Longitud de un péndulo oscilando en la luna, Noviembre 2011 (G.I.C.)

Enunciado

El período de oscilación de un péndulo es $T=2\pi {\sqrt {l/g}}$, donde $l$ es la longitud del péndulo y $g$ es la aceleración de la gravedad. Si su período de oscilación en la superficie de la luna es $T_{L}=3.48\,\mathrm {s}$, calcula su longitud.

Datos: $g_{T}=9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$, $M_{T}=6.00\times 10^{24}\,\mathrm {kg}$, $M_{L}=7.40\times 10^{22}\,\mathrm {kg}$, $R_{T}=6370\,\mathrm {km}$, $R_{L}=1738\,\mathrm {km}$.

Solución

Despejando tenemos que la longitud del péndulo es

$l={\dfrac {T^{2}g_{L}}{4\pi ^{2}}}$

La gravedad en la luna es

$g_{L}=G\,{\dfrac {M_{L}}{R_{L}^{2}}}$

Nos falta el valor de la constante gravitacional. Pero sabemos que la gravedad en la Tierra es

$g_{T}=G\,{\dfrac {M_{T}}{R_{T}^{2}}}$

Dividiendo las dos expresiones tenemos

${\dfrac {g_{L}}{g_{T}}}={\dfrac {\displaystyle G\,{\dfrac {M_{L}}{R_{L}^{2}}}}{\displaystyle G\,{\dfrac {M_{T}}{R_{T}^{2}}}}}={\dfrac {M_{L}R_{T}^{2}}{M_{T}R_{L}^{2}}}=0.166\,\mathrm {m/s^{2}}$

Ahora podemos calcular la longitud del péndulo

$l={\dfrac {T^{2}g_{L}}{4\pi ^{2}}}=50.0\,\mathrm {cm}$