Bola ensartada en semicircunferencia con muelle, Noviembre 2011 (G.I.C.)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ está obligada a reposar sobre una circunferencia de radio $R$. La partícula está unida al extremo superior de la circunferencia por un muelle de constante elástica $k$ y elongación natural nula. El contacto entre la partícula y la circunferencia es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático $\mu$.

1. Determina el módulo de la componente normal de la fuerza de reacción vincular.
2. Determina el módulo de la fuerza de rozamiento.

Solución

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el el peso ($m{\vec {g}}$), el muelle ${\vec {F}}_{k}$ y la fuerza de reacción vincular, que tiene dos componentes, la normal (${\vec {\Phi }}_{N}$) y la de rozamiento (${\vec {f}}_{R}$). En el sistema de ejes indicado estas fuerza se expresan

${\begin{array}{l}m{\vec {g}}=-mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{N}=\Phi _{N}\cos \theta \,{\vec {\imath }}+\Phi _{N}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {f}}_{R}=-f_{R}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+f_{R}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{k}=-k\,{\overrightarrow {AP}}=-kR\cos \theta \,{\vec {\imath }}-kR(\mathrm {sen} \,\theta -1)\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

La condición de equilibrio es

$m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {\Phi }}_{N}+{\vec {f}}_{R}={\vec {0}}$

Igualando las componentes tenemos

${\begin{array}{l}\Phi _{N}\cos \theta -f_{r}\,\mathrm {sen} \,\theta -kR\cos \theta =0\\\\\Phi _{N}\,\mathrm {sen} \,\theta +f_{R}\cos \theta -kR(\mathrm {sen} \,\theta -1)-mg=0\end{array}}$

Si multiplicamos la primera ecuación por $\cos \theta$, la segunda por $\mathrm {sen} \,\theta$ y las sumamos podemos despejar la componente normal de la fuerza de reacción vincular

$\Phi _{N}=kR\,(1-\mathrm {sen} \,\theta )+mg\,\mathrm {sen} \,\theta$

Multiplicando la primera por $-\mathrm {sen} \,\theta$, la segunda por $\cos \theta$ y sumándolas, obtenemos la fuerza de rozamiento

$f_{R}=(mg-kR)\,\cos \theta$