Problemas de electrostática en el vacío (GIOI)

Carga total de una distribución

Calcule la carga total de las siguientes distribuciones de carga:

1. N cargas de valor q situadas en los vértices de un polígono regular de N lados situado en el plano XY, con centro el origen y cuyo primer vértice se encuentra en ${\vec {r}}_{1}=a{\vec {\imath }}$.
2. Un anillo circular de radio b con una densidad lineal de carga uniforme $\lambda _{0}$.
3. Un anillo circular de radio b con centro el origen y situado en el plano XY, con una densidad lineal de carga $\lambda (\theta )=\lambda _{0}\cos(\theta )$, siendo θ el ángulo del vector de posición con el eje OX.
4. Una superficie esférica de radio a con una densidad de carga uniforme $\sigma _{0}$, rodeada por una superficie esférica concéntrica de radio b con densidad de carga $-\sigma _{0}$.
5. Una esfera maciza de radio b con densidad de carga uniforme $\rho _{0}$.
6. Una esfera maciza de radio $2b$ con una densidad de carga dependiente de la distancia al centro como $\rho (r)=A(b-r)$ ($r<2b$).

Solución

Fuerza entre cargas en un triángulo

Tres cargas puntuales iguales +q se hallan en los vértices de un triángulo equilátero de lado b. Calcule la fuerza eléctrica sobre cada una de ellas.

Suponga que se cambia una de las cargas +q por una carga −q. ¿Cuánto vale en ese caso la fuerza sobre cada una de las tres cargas?

Si se cambia una segunda carga +q por otra carga –q, ¿cuánto pasa a ser la fuerza sobre cada una?

Por último, si se sustituye la última carga +q por otra –q, ¿cuál es ahora la fuerza?

Solución

Cuatro cargas en dos varillas

Se tiene el sistema de 4 cargas de la figura, a la izquierda hay dos cargas iguales +q, unidas por una varilla rígida (sin carga). A la derecha hay otra varilla rígida, en cuyos extremos hay cargas opuestas ±q. Las cuatro cargas forman un cuadrado de lado b.

Para cada varilla, calcule la fuerza resultante y el momento resultante respecto a su centro de masas (centro de cada varilla).

Solución

Fuerzas y momentos sobre un par de cargas

Dos cargas $q_{1}=+q$ y $q_{2}=-q$ se encuentran en los extremos de una varilla que se encuentra inmersa en el campo eléctrico

${\vec {E}}=Ay{\vec {\imath }}+Bx^{2}{\vec {\jmath }}$

• Si los extremos de la varilla se encuentran en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\imath }}$ y ${\vec {r}}_{2}=-b{\vec {\imath }}$, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?
• Si los extremos de la varilla se encuentran en ${\vec {r}}_{1}=b{\vec {\jmath }}$ y ${\vec {r}}_{2}=-b{\vec {\jmath }}$, ¿cuál es el efecto del campo sobre el sistema?

Solución

Campo de dos cargas puntuales

Se tienen dos cargas $q_{1}$ y $q_{2}$ situadas respectivamente en los puntos ${\vec {r}}_{1}=-12{\vec {\imath }}$  (cm) y ${\vec {r}}_{2}=+12{\vec {\imath }}$  (cm). Halle el campo eléctrico en los puntos ${\vec {r}}_{A}={\vec {0}}$, ${\vec {r}}_{B}=28{\vec {\imath }}$, ${\vec {r}}_{C}=9{\vec {\jmath }}$, ${\vec {r}}_{D}=-9{\vec {k}}$, ${\vec {r}}_{E}=12{\vec {\imath }}+32{\vec {\jmath }}$

(todas las distancias en cm) para los cuatro casos siguientes

1. $q_{1}=q_{2}=+1\,\mathrm {nC}$
2. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC}$, $q_{2}=-1\,\mathrm {nC}$
3. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC} ,q_{2}=+9\,\mathrm {nC}$
4. $q_{1}=+1\,\mathrm {nC} ,q_{2}=-9\,\mathrm {nC}$

Solución

Anulación de campo eléctrico

Para los cuatro pares de cargas del problema anterior, localice el punto del eje OX en que se anula el campo eléctrico.

Solución

Cargas en los vértices de un cuadrado

Se tienen cuatro cargas en los vértices de un cuadrado cuya diagonal mide 20 cm, según ilustra la figura. Los valores de todas las cargas son +10 nC o −10 nC

1. ¿Cuánto vale aproximadamente la fuerza sobre una carga de 10 nC situada en el centro del cuadrado?
2. ¿Cuánto vale aproximadamente el trabajo para llevar la carga central hasta el infinito?
3. Suponiendo que no está la carga central, ¿cuánto vale la energía electrostática almacenada en el sistema?
4. ¿Qué trabajo hay que realizar para permutar una carga positiva por una negativa vecina?

Solución

Campo de un anillo homogéneo

Calcule, por integración directa, el campo eléctrico en los puntos del eje de un anillo de radio b que almacena una carga Q distribuida uniformemente.

Solución